引出

定义

应用(超几何分布均值与方差和二项分布的联系)

函数

英：Hypergeometric Distribution

引出

产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，即不合格率p=M/N。在产品中随机抽n件做检查，发现k件不合格品的概率为P(X=k)=C(M,k)*C(N-M,n-k)/C(N,n),k=0,1,2,...,min{n,M}。通常称这个随机变量X服从超几何分布。这种抽样检查方法等于无放回抽样。数学上不难证明，N趋近无穷，limC(k,M)*C(n-k,N-M)/C(M,N)=B(n,p) (二项分布) 因此，在实际应用时，只要N>=10n，可用二项分布近似描述不合格品个数。

也就是已经知道某个事件的发生概率，判断从中取出一个小样本，该事件以某一个机率出现的概率问题。

例子：假设细胞中有某种现象以90%的几率在发生着，被我们的三次实验抓到三次的几率是多大呢？不过可惜的是我们往往不能知道某个事件发生的先验的概率。不过至少可以拿来做假设检验吧。

定义

在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k

则P(X=k)=C(M k)·C(N-M n-k)/C(N n)， C（a b）为古典概型的组合形式，a为下限，b为上限

此时我们称随机变量X服从超几何分布（hypergeometric distribution）

1）超几何分布的模型是不放回抽样

2）超几何分布中的参数是M,N,n

上述超几何分布记作X~H(n，M，N)。

应用

例：在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？

解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型。

其中N = 30. M = 10. n = 5.

P(一等奖) = P(X=4 or 5) = P(X=4) + P(X=5)

由公式P(X=k)=C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0,1,2,...得：

P(X=4) = C(4,10)*C(1,20)/C(5,30)

P(X=5) = C(5,10)*C(0,20)/C(5,30)

P(一等奖) = 106/3393

超几何分布的均值：

对X~H(n，M，N)，E(x)=nM/N

证明：引理一：∑{C(x,a)*C(d-x,b),x=0..min{a,d}}=C(d,a+b),考察(1+x)^a*(1+x)^b中x^d的系数即得。

引理二：k*C(k,n)=n*C(k-1,n-1),易得。

正式证明：

EX=∑{k*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0..min{M,n}}

=1/C(n,N)*∑{M*C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}}

//（提取公因式，同时用引理二变形,注意k的取值改变）

=M/C(n,N)*∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}} （提取，整理出引理一的前提）

=M*C(n-1,N-1)/C(n,N) （利用引理一）

=Mn/N （化简即得 ）

超几何分布的方差：

对X~H(n，M，N)，D(X)=nM(N-M)(N-n)/[(N^2)(N-1)]

证明：

DX=E(X^2)-(EX)^2 （此公式利用定义式简单展开即得）

=∑{k^2*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0..min{M,n}}-(Mn/N)^2

=1/C(n,N)*∑{M*k*C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}}-(Mn/N)^2（提取，变形）

=M/C(n,N)*∑{(k-1)*C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M)+C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}}-(Mn/N)^2

（拆项，变形）

=M/C(n,N)*∑{(M-1)*C(k-2,M-2)*C(n-k,N-M),k=2..min{M,n}}+M/C(n,N)*∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}}-(Mn/N)^2 （拆开∑，就是分组求和）

=M(M-1)*C(n-2,N-2)/C(n,N)+Mn/N-(Mn/N)^2

=nM(N-M)(N-n)/[(N^2)(N-1)] （化简即得）

超几何分布均值与方差和二项分布的联系

视M/N=p

则EX=np

DX=np(1-p)*(N-n)/(N-1)

可以看出，均值的公式形式上与二项分布是一至的，而方差也只相差(N-n)/(N-1)。

这一点即有利于对这两个公式的记忆，又从另一个角度说明了：“ 因此，在实际应用时，只要N>=10n，可用二项分布近似描述不合格品个数。”

补充一个ASP的计算程序,估计明白计算机语言的大家都能看明白：已经去掉了大数阶乘溢出的问题。。。

函数

function HYPGEOMDIST(kkk,n,MM,NN) '超几何分布计算函数

for k=kkk to n

AA=1

BBA=1

BBB=1

lll=n

for i= 0 to k-1

BBA=BBA*(MM-i)/(NN-i)

next

for j= k to n

BBB=BBB*(NN-MM-j+k)/(NN-j)

next

BBs=BBB*BBA

if lll-k>k then

x=K

Else x=lll-k

end if

for i=1 to x

lll=lll-1

next

HYPGEOMDIST=HYPGEOMDIST+BBS

next

end function

response.write HYPGEOMDIST(200,2200,1000,17000)

%>