超复数

四元数的定义

八元数的历史及单元乘法表

十六元数的定义

超复数

超复数是复数在抽象代数中的引申,以高维度呈现。例如:

4维度的 四元数,tessarines,coquaternions

8维度的 八元数,biquaternions

16维度的 十六元数

普遍格式:

<math> x = \\sum_{k=0}^N a_k x_k </math>

<math> x_0 = 1, a_k \\in \\mathbb{R} </math>

不能在虚数和实数的坐标轴上体现出来。

四元数的定义

四元数是最简单的超复数。

复数是由实数加上元素 i 组成，其中

<math>i^2 = -1 \\,</math>。

相似地，四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系：

<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \\,</math>

每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为<math>a + bi + cj + dk \\,</math>。

八元数的历史及单元乘法表

八元数第一次被描述于1843年，于一封John Graves给威廉·卢云·哈密顿的信中。后来八元数由Arthur Cayley在1845年独自发表。Arthur Cayley发表的八元数和John Graves给威廉·卢云·哈密顿的信中所提及的并无关系。

八元数可视为是透过实数构造而成的八维向量空间，它的乘法是由八个单位元素(1, i, j, k, l, m, n, o)遵循规则进行的，具体乘法看图，八元数乘法不满足于交换律和结合律。

十六元数的定义

十六元数透过实数形成16维的向量空间。彷如八元数,其乘法不符合交换律及结合律。十六元数的16个单元十六元数是: 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, e13, e14和e15。