| 词条 | 超定方程组 |
| 释义 | 超定方程组方程个数大于未知量个数的方程组。 对于方程组Ra=y，R为n×m矩阵，如果R列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。 超定方程组的解超定方程一般是不存在解的矛盾方程。 例如，如果给定的三点不在一条直线上， 我们将无法得到这样一条直线，使得这条直线同时经过给定这三个点。 也就是说给定的条件（限制）过于严格， 导致解不存在。在实验数据处理和曲线拟合问题中，求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。形象的说，就是在无法完全满足给定的这些条件的情况下，求一个最接近的解。 曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以上超定方程组的最小二乘解的问题。 如果有向量a使得达到最小，则称a为上述超定方程的最小二乘解。 最小二乘解的存在性和唯一性方程组有精确解，则称为是相容的，其充要条件是rank(R)=rank(R,y)。设rank(R)=r>0，则总存在分解R=FG，即满秩分解。 定理1方程组必存在最小二乘解，且a是方程组的最小二乘解的充要条件是a是RT·R·a=RT·y的解。 定理2若rank(R)=r<n，则方程组有无穷多个最小二乘解，其中2-范数最小的解称为方程组的极小最小二乘解，且该解是唯一的，为a'=GT(GGT)-1(FTF)-1FTy 定理3若rank(R)=n<=m，以上超定方程组存在唯一最小二乘解，解为a=(RT·R)-1·RT·y |
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