方程式

推导过程

流体内任一点压强

帕斯卡定律

方程式

静止流体平衡方程式如右图：

它表达了处于静止（或相对静止）状态的流体中任一点上压强与作用于流体的质量力之间的普遍关系。

X、Y、Z分别为作用于x,y,z方向的质量力。

这个方程式是1755年欧拉提出的，故也称为欧拉平衡方程。

推导过程

设一个静止的流体中任一点A处得坐标是（x,y,z），划出以A为中心的微小平行六面体作为隔离体。六面体各边分别于直角坐标轴平行，其边长分别为dx,dy,dz。

对作用于与这个流体微小六面体上的外力进行分析

（1）作用于六面体上的表面力。

设六面体中心点A的静水压强为p。那么，根据流体连续性的假设，它应是坐标的连续函数，即p=p(x,y,z)。于是根据静水压强p在A附近的变化，沿x方向作用在边界面中心A1和A2点上的压强p1,p2，可以表示为： 因此，作用在x方向两边界面上的静水总压力为：

同理，对于其他和y、z轴相平行的面上的力，也可以写出相应的表达式。

（2）作用于六面体的质量力。

设作用于单位质量流体上的质量力在x方向的分量为X，则作用于六面体上的质量力在x方向的分力为X·ρdxdydz,其中ρ为流体的密度，ρdxdydz为六面体的质量。当然，沿y、z方向也同样有质量力Y·ρdxdydz，Z·ρdxdydz。

根据流体的平衡条件，这两种作用力必须平衡。则各力在轴上的投影之和应为零，即：

流体内任一点压强

在给定质量力的作用下，对上公式积分，变可得到静止流体中压强p的具体分布规律。如果已知流体表面或内部任意点处得力函数U和压强P0，则上式积分以后得:p=P0+ρ（U-U0）

这就是在具有力函数U的某一质量力作用下，静止流体内任一点p的表达式。

帕斯卡定律

在上式中，可以看出，当p0值有所增减时，则在所研究的平衡流体中，各处的压强p也相应地有同等数值的增减。由此可得：在处于平衡状态的不可压缩的流体中，作用在其边界面上的压强，将等值、均匀地传递到流体的所有各点，这就是帕斯卡定律。