勒让德定理

在正数n!的素因子标准分解式中,素数p的指数记作<math>L_p</math>(n!),则<math>L_p</math>(n!)=<math>\\sum_{k>=1} [{n \\over p^k}]</math>.

背景

勒让德定理是由法国数学家勒让德发现证明的.

证明

若把2,3,...,n都分解成了标准分解式,则<math>L_p</math>(n!)就是这n-1个分解式中p的指数和.设其中p的指数为r的有<math>n_r</math>个(<math>r>=1</math>),则 <math>L_p</math>(n!)=<math>n_1+2n_2+3n_3+...=</math><math>\\sum_{r>=1} rn_r</math><math>=n_1+n_2+n_3+...+n_2+n_3+...+n_3+...=N_1+N_2+N_3+...=</math><math>\\sum_{k>=r} N_r</math> 其中<math>N_r=n_r+n_r+1+...=</math><math>\\sum_{k>=r} n_k</math>恰好是2,3,...,n这n-1个数中能被<math>p^r</math>除尽的数的个数,即<math>N_r</math>=<math>[{n \\over p^k}]</math>得证.