词条 | 康托尔函数 |
释义 | 连续函数可以在(x)几乎没任何改变的情况下,值却有大幅增长。 首先,我们定义康托尔集C: 将基本区间[0,1]用分点1/3,2/3三等分,并除去中间的开区间(1/3,2/3),把余下的两个闭区间各三等分,并除去中间的开区间(1/9,2/9),(7/9,8/9)。然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。 这样,我们得到被去掉的开集G=(1/3,2/3)∪(1/3^2,2/3^2)∪(7/3^2,8/3^2)∪(1/3^3,2/3^3)∪(7/3^3,8/3^3)∪(19/3^3,20/3^3)∪(25/3^3,26/3^3)∪......康托尔集C=[0,1] - G。 下面,我们定义康托尔函数: 引进[0,1]中小数的三进制表示来考察,例如1/3(10)=0.1(3)(括号中的数表示进制),2/3(10)=0.2(3),1/9(10)=0.01(3),2/9(10)=0.02(3),7/9(10)=0.21(3),8/9(10)=0.22(3),但是1/3又可表示成0.02222...(3),这里约定用无限表示。基于此,可以发现,(1/3,2/3)区间中的数用3进制表示时,第一个不为0 的数一定是1。归纳可证,G中的点,表示成三进制时,必有一位为1,而C={0.x1x2x3...(3):每个xi为0或2}。(由此可以看到C的势为 阿列夫) 现在定义函数f:C -->[0,1],令yi=xi/2,f(x)=0.y1y2y3...(2),其中x=0.x1x2x3...(3). 则对G中区间的端点,函数值相等。 如f(1/3)=f(0.02222...(3))=0.01111(2)=0.1(2) f(2/3)=f(0.2(3))=0.1(2) = f(1/3) 其他区间端点同样可得。 将f的定义域扩展到[0,1],使G中区间里的所有点的值定义为端点的值。由于C中没有孤立点,且f在C上是单调的,这样f:[0,1]-->[0,1],是连续的。 这个函数的导数恒等于0,但他的值却从0增加到了1。 |
随便看 |
百科全书收录4421916条中文百科知识,基本涵盖了大多数领域的百科知识,是一部内容开放、自由的电子版百科全书。