定义

例子

在弦论中的应用

定义

数学上，卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold，简称卡丘流形）是一个的第一陈示性类为0的紧n维Kähler 流形，也叫做卡拉比-丘n-流形。数学家卡拉比在1957年猜想所有这种流形（对于每个Kähler类）有一个里奇平直流形的度量，该猜想于1977年被丘成桐证明，成为丘定理（Yau's theorem）。因此，卡拉比-丘流形也可定义为「紧里奇平直卡拉比流形」（compact Ricci-flat Kähler manifold）。

也可以定义卡拉比-丘n流形为有一个SU(n)和乐（holonomy）的流形。再一个等价的定义是流形有一个全局非0的全纯(n,0)-形式。

例子

在复一维的情况，唯一的例子就是环面族。注意环上里奇平直的度量就是一个平坦度量，所以和乐群（holonomy）是当然群，也叫SU(1)。

在复二维的情形，环T4和K3曲面组成了仅有的实例。T4有时不被算作卡拉比-丘流形，因为其和乐群（也是当然群）是SU(2)的子群而不是同构于SU(2)。从另一方面讲，K3曲面的和乐群是整个SU(2)，所以他可以真正成为2维的卡拉比-丘流形。

在复三维的情况，可能的卡拉比-丘流形的分类还是为解决的问题。3维卡拉比-丘流形的一个例子是复射影空间CP4中的5次三流形。

在弦论中的应用

卡拉比-丘流形对于超弦理论很重要。在最常规的超弦模型中，弦论中有十个猜想中的维度，作为我们所知的4个维度出现，在加上某种纤维化，纤维的维度为6。卡拉比-丘n-流形的紧致化很重要，因为他们保持一些原有的超对称性不被破坏。更精确的说，卡拉比-丘3-流形（实维度6）的紧致化保持四分之一的原有超对称性不变。