加强不等式是一种数学方法

为了证明一个不等式,通常现有的方法无法将公式套上去时,可以引入加强不等式,通常要有一定的做题经验才能准确判断该加强到什么地步.

加强不等式就是为了证明一个不等式A,而去证明另一个不等式B,若B成立则A显然成立,那么B就是A的加强不等式.

比如,你要证明X+Y大于Z,那么你就可以证明X+Y大于Z+1(前提是的确如此),看上去似乎是南辕北辙,但如果在一些比较高级的不等式如复杂的均值不等式,琴生不等式,排序不等式时就使用得比较多了.具体情况还需有充足的做题经验才能准确判断应如何加强这个不等式使得这个不等式可以直接套入公式里,这样比较方便.

这需要灵感与观察，那个加强的式子通常与原来的数列在形式上有千丝万缕的联系。

举个例子，2007年的高中数学联赛题：正整数n>1,求证1/（n+1)+1/(n+2)+...+1/2n<25/36 答案是用数学归纳法证明加强不等式1/（n+1)+1/(n+2)+...+1/2n=<25/36 -1/（4n+1),但这很难凭空想到

此时可设1/（n+1)+1/(n+2)+...+1/2n=<25/36 -1/(f(n))

n=2时，算得1/f(2)<=1/9...①

n=k时,有1/（k+1)+1/(k+2)+...+1/2k=<25/36 -1/f(k)

则当n=k+1时，只证1/（k+2)+1/(k+3)+...+1/2(k+1)=<25/36 -1/f(k+1)

由假设：1/（k+2)+1/(k+3)+...+1/2(k+1)=<25/36 -1/f(k)+1/(2k+1)

+1/(2k+2)-1/(k+1)=25/36 -1/f(k)+1/(2k+1)

于是只证25/36 -1/f(k)+1/(2k+1)-1/2(k+1)=<25/36 -1/f(k+1)

即1/f(k+1)-1/f(k)=<1/(2k+2)-1/(2k+1)...②

又因上式右边分母均为一次多项式，令f(n)=an+b

代入②式解得4ak^2+6ak+2a>=a^2*k^2+ak(a+2b)+ab+b^2

可得a=<4，b=<1

代入①式得2a+b>=9

故a=4,b=1