定义

代数性质

例子

在数学里，恒等函数为一无任何作用的函数：它总是传回和其引数相同的值。换句话说，恒等函数为函数f(x) = x。

定义

设M为一集合，于M上的恒等函数f被定义于一具有定义域和陪域M的函数，其对任一M内的元素x，会有f(x)=x的关系。

于M上的恒等函数f通常标记为idM或1M。

代数性质

设f : M → N为任一函数，则会有f o idM = f = idN o f(其中"o"为函数复合)。特别地是，idM会是所有由M至M的函数所组成之幺半群的单位元。

因为幺半群的单位元是唯一的，可以以M上的单位元来替代其恒等函数的定义。此一定义广义化成了于范畴论中恒等态射的概念，其中M的自同态并不必然要是个函数。

例子

于正整数上的恒等函数为一数论中的完全积性函数。在一n维向量空间内，恒等函数表示成单位矩阵In，不论其基为何。在一度量空间，恒等函数很当然地为等距同构。一无任何对称的物件会有一对称群，只包含其等距同构的群C1。