单位圆盘的哈代空间

上半平面的哈代空间

在复分析中，哈代空间（或哈代类） H 是单位圆盘或上半平面上的某类全纯函数。高德菲·哈罗德·哈代首先在1915年考虑这类问题。在实分析中，实哈代空间是复哈代空间的成员在实数轴上的边界值。对于 <IMG class=tex alt="1 < p ，实哈代空间基本上等于 L 空间。当 时，L 空间较难操作，而哈代空间的性质就比较容易掌握。

在较高维的情况，我们可考虑管状域（复数情形）及 上的函数，从而得到相应的定义。

哈代空间在数学分析、控制论及散射理论中有所应用。

单位圆盘的哈代空间

对 <IMG class=tex alt="0 < p ，哈代空间 H 定义为开单位圆盘上满足下述性质的全纯函数 f

<IMG class=tex alt="\\sup_{0<r<1} \\left|\\frac{1}{2\\pi} \\int_0^{2\\pi} \\left[f(re^{i\\theta})\\right]^p \\; d\\theta\\right|^\\frac{1}{p} 左侧的数定义为范数 。

若 <IMG class=tex alt="0 < p < q ，可证明 。

上半平面的哈代空间

藉凯莱变换，可将单位圆盘的定义翻译到上半平面的情形。此时哈代空间等于上半平面上满足下述性质的全纯函数 F

0} \\left|\\int_\\mathbb{R} |F(x+iy)|^p dx\\right|^{\\frac{1}{p}} 左侧的数定义为范数 。