泊松定理为一定理，由法国力学家、物理学家和数学家S.D.泊松总结出。从泊松定理出发进行公式推导和分析,阐述了重磁异常的对应分析3个参数的物理意义,并认为在区域重磁数据解释时,对应分析得到的截距是在去掉感磁背景和与重力异常线性相关部分异常的剩磁异常的贡献,为其应用提供了基础.分析了重磁异常解释中泊松定理的作用,并通过具体的实例分析了基于泊松定理来确定地质体总磁化方向及其在分析火山岩活动中的作用.

简介

泊松定理（新加）

基本特性

验证

习题(习题1 例1 例2 例3 习题2)

简介

[英] Poisson theorem

Poisson 分配

考虑下列现象：每小时服务台访客的人数，每天家中电话的通数，一本书中每页的错字数，某条道路上每月发生车祸的次数，生产线上的疵品数，学生到办公室找老师的次数……。大致上都有一些共同的特征：在某时间区段内，平均会发生若干次「事件」，但是有时候很少，有时又异常地多，因此事件发生的次数是一个随机变数，它所对应的机率函数称为 Poisson 分配。

泊松定理（新加）

在n重贝努力试验中，事件A在每次试验中发生的概率为p,出现A的总次数K服从二项分布b(n,p)，当n很大p很小，λ=np大小适中时，二项分布可用参数为λ=np的泊松分布来近似。

基本特性

一个 Poisson 过程有三个基本特性：

(1) 在一个短时间区间 $\\Delta t$ 内，发生一次事件的机率与 $\\Delta t$ 成正比： $\\lambda \\Delta t$。

(2) 在短时间内发生两次以上的机率可以忽略。

(3) 在不重叠的时间段落里，事件各自发生的次数是独立的。

另一名称为普阿松分布。关键应用n->无穷大时二项分布(n,p)等价于参数为np的泊松分布验证　各位可以验证上述各种实际的例子，是不是相当符合 Poisson 过程的定义？

验证

现令 P(k,T) 表示在时间区间 T 中发生 k 次事件的机率（注意 T 表示时间区间的长度，而不是绝对时间），由(1)(2)知 $P(1,\\Delta t)=\\lambda\\Delta t$，且 $P(k,\\Delta t)=0$, $k\\geq 2$。现将 T 分割成 N 个短时间区段 （即 $T=N\\Delta t$），利用 (3) 各时间区段出现之事件是独立的条件，可知

\\begin{eqnarray*} P(k,T)& \\approx & C^N_k (\\lambda \\Delta t)^k(1-\\lambda\\Delta ... ...cdot \\frac{(1-\\frac{\\lambda T})^N}{(1-\\frac{\\lambda T})^k} \\end{eqnarray*}

固定 k，当 $N\\rightarrow\\infty$ 时

\\beginP(k,T)=\\frac{(\\lambda T)^k}{k!}e^{-(\\lambda T)} \\quad (\\mbox{... ...{\\MbQ\\char 41}} (1+\\frac{\\alpha})^N\\rightarrow e^{\\alpha }) \\end

由上可知 Poisson 分配是二项分配 B(N,p,q) 的一种极限，其中 Np= 常数 $\\lambda T$，再让 $N\\rightarrow\\infty$。另外，我们通常将 $\\lambda T$ 记为 m，表示在时间区间 T 中，平均的发生次数（见下面习题）。

习题

习题1

(1) 验证 $\\sum_{k=0}^{\\infty} P(k,T)=1$。

(2) 令 $P_X(k)=\\frac{m^k}{k!}e^$, $k=1,2,3,\\cdots$。求 E(X) 与 Var(X)。

(Ans. m, m.)

例1

.

一公司之电话通数大约每小时 20 通，求在 5 分钟内一通电话也没有的机率？每小时 20 通, 表示每分钟平均 $\\lambda =\\frac$ 通/分。因此在 5 分钟的时间区间中, 平均的电话通数为 $ m=\\lambda T= \\frac\\times 5=\\frac$。所以

\\beginP(k)\\;\\equiv\\;P(k,5)\\;=\\;\\frac{(\\frac)^k}{k!} e^{-\\frac}, \\quad k=0,1,2,\\cdots\\end

所以没有一通电话的机率 $P(0)= e^{-\\frac}\\;\\approx\\; 0.19 $。有了 P(k)，我们可以回答许多类似的问题：在 5 分钟内有 4 通电话的机率是 $P(4)=\\frac{\\frac^4}{4!}e^{-\\frac}\\approx 0. 06$，大概每十六次才有一次。在 5 分钟内有超过 3 通电话的机率是

\\begin\\sum_{k=4}^{\\infty}\\frac{(\\frac)^k}{k!} e^{-\\frac... ...=0}^\\frac{(\\frac)^k}{k!} e^{-\\frac}\\approx 0.09\\end

经计算这个机率分配的期望值 $= \\frac$，标准差 $=\\sqrt{\\frac}\\approx 1.29$。右图是 P(k) 的图形，当然由于 $k= 0,1,\\cdots$，所以这只是部分图形。读者可与一般的二项分配的图形比较。

$E(X)=\\frac \\approx 1.67 \\;\\sqrt{Var(X)}=\\sqrt{\\frac} \\approx 1.29$

例. 下表是 1910 年 Rutherford 观察放射性物质放射 α 粒子的记录，每次观察 7.5秒，共观察 2608 次。

粒子数 次数 频率 P(k)

0 57 0.022 0.021

1 203 0.078 0.081

2 383 0.147 0.156

3 525 0.201 0.201

4 532 0.204 0.195

5 408 0.156 0.151

6 273 0.105 0.097

7 139 0.053 0.054

8 45 0.017 0.026

9 27 0.010 0.011

$\\geq 10$ 16 0.006 0.007

$m=\\frac=3.87$

这里 P(k)=P(k,7.5)，其中 $P(k)= \\frac{m^k}{k!}e^$，m=3.87（见表最末栏），为 7.5 秒中 α 粒子放射之平均个数。可以看到，如果假设 α 粒子的放射是一 Poisson 过程，结果相当吻合。

例2

. 令一放射性物质在时间 t 时所含之放射性粒子总量为 N(t)，如果假设放射粒子是一 Poisson 过程，则在短时间 $\\Delta t$ 後，

\\beginN(t+\\Delta t)-N(t)=-(\\lambda \\Delta t)N(t) \\end

注意到 $(\\lambda\\Delta t)N(t)$ 是一期望值的形式。所以

\\beginN'(t)\\approx \\frac{N(t+\\Delta t)-N(t)}{\\Delta t}=-\\lambda N(t) \\end

这可看成辐射定律的「证明」。

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．辐射定律

指数分配与排队理论

令 W 表示在 Poisson 过程中，由开始到第一次事件发生的时间（这是一随机变数）。由上节知

\\begin{eqnarray*} P(W>t)&=&P( \\mbox{{\\MaQ\\char 202}} [0,t] \\mbox{{\\MaQ\\char 50... ...t minus0.1pt{\\MbQ\\char 222}} ) \\\\ &=&e^{-\\lambda t}, \\quad t>0 \\end{eqnarray*}

但

\\beginF_W(t)=P(W\\leq t)=1-P(W>t) =1-e^{-\\lambda t} \\end

所以

\\beginf_W(t)=F_W'(t)=\\lambda e^{-\\lambda t}, \\quad t>0 \\end

这个机率分配称为指数分配。可计算得 $E(W)=\\frac{\\lambda}$，这就是第一次事件发生的平均时间。另外， $Var(W)=\\frac{\\lambda^2}$。

现在让我们讨论排队理论。排队的现象无所不在：买各种票、吃自助餐、超商、百货公司……等。顾客揣度「应该排那一服务柜台会比较快？」「到底还要排多久？」是城市生活的基本问题；相对的，商家也要盘算到底在何时要开几个窗口柜台才符合成本，探讨这个问题的数学理论通称为排队理论，而指数分配经常被用到排队理论，当作服务客人时间（这是一随机变数）的机率密度函数。

让我们假设某柜台，服务客人的平均时间为 μ，想像在服务结束後，柜员会亮灯请下一位客人进来，则亮灯的平均时间是 μ。若将「灯亮」视为一事件发生，则亮灯的过程近似于一 Poisson 过程。而且前面定义的 W 正好表示两次亮灯间的间隔。所以 W 的机率密度函数是指数分配：

\\beginf_W(t)=\\frac{\\mu}e^{-\\frac{\\mu}t},\\quad t>0 \\end

例3

.

现假设一柜台平均服务时间为 3 分钟，设等待时间的机率密度函数为

\\beginf_W(t)=\\frac e^{-\\frac}, t>0 \\end

(1)等候时间超过6分钟的机率是多少？

\\begin{eqnarray*} P(W>6)&=& \\int_^{\\infty}{\\frac e^{-\\frac}}dt = ... ...\\frac}\\big)\\big\\vert _6^b \\\\ &=& e^\\; \\approx \\; 0.14 \\end{eqnarray*}

事实上，等候超过 T 分钟的机率是 $e^{-\\frac}$。

(2) 另一个合理的问题是，如果在我前面还有另一个客人，则我怎麼描述，我等待时间的机率分配呢？

令 W1 是第一个客人等待的时间，W2 是第一个客人开始被服务後，我所等待的时间，则 $W_1 \\;\\sim\\; W_2\\; \\sim \\; W $，而且总等待时间 U = W1+W2，另外显然 W1 与 W2 是互相独立的。所以我们的问题就是要计算 fU(t)，由309页例子的方法，可以计算得

\\beginf_U(t) = \\frac t e^{-\\frac},\\quad t>0 \\end

或者，如果将指数分配 fW(t) 想成是 $\\Gamma(1,\\frac)$ 分配，则此相当于

\\begin\\Gamma(1,\\frac)+\\Gamma(1,\\frac) \\;\\sim\\; \\Gamma(2,\\frac)\\qquad \\end

因此如果我们想知道总等候时间不超过 5 分钟的机率，则

\\begin{eqnarray*} P(U\\leq5)&=& \\int_^{\\frac t e^{-\\frac}}dt ... ...0^5 + 3 \\int_0^5 e^{-\\frac} \\; dt \\right)\\\\ &\\approx& 0.5 \\end{eqnarray*}

有一半的机会。

(3) 如果前面有 n-1 个客人时，则可定义 $U=W_1+W_2+ \\cdots + W_n $，其中 Wi 彼此独立，由 Gamma 分配性质知 $U \\sim \\Gamma(n, \\frac)$，即

\\beginf_U(t)\\; =\\; \\frac{3^n(n-1)!} t^e^{-\\frac}, \\quad t>0 \\end

这告诉我们 $\\Gamma(\\alpha, \\beta)$ 分配与排队理论的关系。我们将细节留作习题。

习题2

(1) 超级市场一服务员平均服务时间为 2 分钟，若用指数分配当作等候时间之机率分配，则机率密度函数是什麼？

(2) 如果他正开始服务一位客人，而你前面还有一位客人在等候，则你会等超过 6 分钟的机率是多少？

(3) 若服务员甲平均服务时间为 2 分钟，而服务员乙之平均服务时间为 3 分钟，如果你选择乙，你朋友选择甲，且一起开始接受服务，则你会比朋友快的机率是多少？（当然甲与乙的服务是相互独立的）你能给出一个一般的计算公式吗？