波动方程简介

方程形式

方程的解及条件

波动方程简介

波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。

历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。

历史上，像乐器那样的振动弦问题曾被很多科学家研究，包括达朗贝尔，欧拉，丹尼尔·伯努利，和拉格朗日。

方程形式

对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是：{ \\partial^2 u \\over \\partial t^2 } = c^2 \abla^2u

这里c通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：

v_\\mathrm = \\frac{\\omega}.

注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。

u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。\abla^2 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。

方程的解及条件

对于一维标量波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的： u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) 其中F和G为任意函数，分别对应于前进行波，和后退行波。要决定F和G必须考虑两个初始条件：

u(x,0)=f(x)

u_{,t}(x,0)=g(x)

这样达朗贝尔公式变成了:

u(x,t) = \\frac{f(x-ct) + f(x+ct)} + \\frac \\int_^{x+ct} g(s) ds

在经典的意义下，如果f(x) \\in C^k并且g(x) \\in C^则u(t,x) \\in C^k.

一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个质量为m的小质点的队列，互相用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k :

这里u (x)测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程是：

m{\\partial^2u(x+h,t) \\over \\partial t^2}= kLINK

其中u(x)的时间依赖性变成显式的了。