词条 | 弗莱纳公式 |
释义 | 梗概在向量微积分中,弗莱纳公式(Frenet–Serret 公式)用来描述欧几里得空间R中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说,弗莱纳公式描述了曲线的切向,法向,副法方向之间的关系。 单位切向量 T,单位法向量 N,单位副法向量 B,被称作 弗莱纳标架,他们的具体定义如下: T是单位切向量,方向指向粒子运动的方向。 N是切向量 T对弧长参数的微分单位化得到的向量。B是 T和 N的外积。 弗莱纳公式如下 其中d/ds是对弧长的微分, κ 为曲线的曲率,τ 为曲线的挠率。弗莱纳公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律 弗莱纳公式记r(t) 为欧式空间R中的曲线,表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。 弗莱纳公式只适用于正则曲线,即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不为零的曲线。 记 s(t)为 t时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长:由于假设r′ ≠ 0,因此可以将 t表示为 s的函数,因此可将曲线表示为弧长 s的函数 r(s) = r(t(s))。 s通常也被称为曲线的弧长参数。 对于由弧长参数定义的正则曲线 r(s),弗莱纳标架(或弗莱纳基底)定义如下: 单位切向量 T: 主法向量 N:副法向量 B定义为 T和 N的外积: 由于 所以 N与 T垂直。 方程 (3) 说明 B垂直于 T和 N,因此向量 T,N,B互相垂直。 弗莱纳公式如下: 其中的矩阵是反对称矩阵。 对弧长s求导,可以看成是对切方向的协变导数。 参阅曲线仿射几何 曲线微分几何 达布标架 运动学 |
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