方法概述

应用举例

方法概述

讨论含参数的方程或不等式解的问题时，进行分类讨论有时显得比较复杂。如果我们将含参数的方程(或不等式)经过变形，将参数分离出来，使方程(不等式)的一端化为只含参数的解析式，而另一端化为与参数方程无关的主变元函数，通过函数的值域或单调性讨论原方程(不等式)的解的情况，则往往显得非常简捷、有效．这种处理方式称为"分离参数法"．

注意：不要与"分离常数法"混为一谈！

应用举例

例1.设函数f(x)=ax^2－3x+1 对于x∈[－1，1] 总有f(x)≥0 成立，求a 的取值范围．解：对于x∈[－1，1]，ax^2－3x+1≥ 0.　故ax^2≥ 3x－1.　当x= 0时显然成立；若x不为0，则有 a≥ (3x－1) / x^2 = 3/x－1/x^2 =9/4－ (1/x－3/2)^2　设t =1/x，则 t∈(－ ∞,－1]∪[1, + ∞)；再设g(t) =9/4 － (t －3/2)^2．　g(t)的图象是一开口向下的抛物线，在t = 3/2取最大值．　故g(t)≤g(3/2) = 9/4．　也就是说对于x∈[－1，1]且x≠0，(3x－1) / x^2≤9/4.　∴ a≥9/4. 例2．讨论关于x的方程：lg(x－1)+lg(4－x)=lg(a－x)的实数解的个数.

解： 原方程可化为：

(x－1)(4－x)=a－x (1<x<4)

a=－x^2+6x－4=－(x－3)^ 2+5 (1<x<4)

因为f(x)=－(x－3) ^2+5的单调区间为：(1，3]，(3，4）

当x∈(1，3]时，f(x)∈(1，5]；

当x∈(3，4)时，f(x)∈(4，5)；

所以：当a∈(4，5)时，方程有两解；

当a∈(1，4)或5时，方程有一解；

当a∈(－∞，1]∪(5，+∞)时，原方程无解.例4． 已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，f(1)=1, 若对a, b∈[－1,1] ,且a+b≠0,

恒有(f(a)+f(b))/(a+b)>0

(1) 判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性.

(2) 若f(x)≤a－2am+1对x∈[－1，1]，a∈[1，3]恒成立，求m的取值范围．

解：（1）易知f(x)在区间[－1，1]上为增函数．

（2）由（1）知，f(x)在[－1，1]上单调递增，且f(1)=1，则f(x)在[－1，1]上最大值为1．

∵f(x)≤a－2am+1对x∈[－1，1]，a∈[1，3]恒成立，

则只需a^2－2am+1≥1，即a^2－2am≥0对a∈[1，3]恒成立，

即2m≤a对a∈[1，3]恒成立，∴2m≤1,m≤1/2

综上所述，m的取值范围为（－∞， 1/2].