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泛代数

universal algebra

以一般代数系统为研究对象的一个数学分支。在诸如矩阵群、置换群、变换群等具体的群概念基础上，经过抽象概括而得出抽象群的概念；与此类似，可以在一般的群、环、布尔代数、模、格、半群等等概念之上再抽象，得出能概括它们的共性的更加一般的概念。这种方法和任务,早在1898年A.N.怀特海就已提出了,但是直到20世纪30年代末期在G.伯克霍夫的著名工作之后，泛代数才真正发展起来。

设A是一个非空集合,□≥1是自然数，所谓A的一个□元运算，是指A×A×……×A（□个A的笛卡儿积）到A的一个映射□，元素(□□,□□,…,□□)在映射□下的像□□□□…□□□，就是 □□,□□,…,□□在□元运算□下得到的结果。规定A的一个零元运算就是在A中标定一个元素。

集合 A和其上若干个（有限或无限个）运算组成的运算集Ω一起，统称为一个代数系统或Ω代数（简称代数），记作〈A,Ω〉。简而言之,所谓代数系统,就是带运算的集合。如果代数系统〈A,Ω〉的运算集Ω与代数系统〈A□,Ω□〉的运算集Ω□之间有一个一一对应□，且相对应的运算是相同元数的,那么和〈A□,Ω□〉称为是同型的。常把同型代数的运算集Ω和Ω□按对应□等同起来。例如，群可看成具有一个二元运算（乘法）、一个一元运算（取逆元）和一个零元运算（单位元）的代数系统；有单位元的环可看成具有两个二元运算（加法和乘法）、一个一元运算（取负元）和两个零元运算（零元和单位元）的代数系统；布尔代数可看成具有两个二元运算（交和并）、一个一元运算（取补元）和两个零元运算（0和1）的代数系统。有单位元的环和布尔代数，就可视为同型代数。然而，域不能看成代数系统，因为域中对乘法取逆元不是对域中每一元都有意义，而只是域上的一个“部分运算”。

泛代数首先把群论、环论和格论中一些共有的概念和平行的结果，推广到代数系统上来。例如，同构、同态、合同关系、子代数系统等基本概念，以及从已给的代数系统建立新的代数系统的各种构造方法：取子代数系统、取同态像、直积、亚直积、正向极限、反向极限、超滤积、自由代数等，它们和群论或环论中相应的概念十分类似。就其重要的介绍如下：

设〈A,Ω〉和〈A□,Ω□〉是两个同型代数（已将它们的运算集等同起来），如果□是集A到集A□的一个映射，且对Ω中任意□ 元运算□ 满足条件(C)：□□ □□□□□□A,那么□ 称为代数到〈A□,Ω□〉的一个同态。当□是零元运算时，条件(C)是指A中□ 所标定的元素在□下的像，恰是A□中□ 所标定的元素。当□为A和A□间的一一映射时,则说□是这两个代数间的一个同构。

设□是集合A的一个等价关系。所谓□是代数的一个合同关系,意指对Ω中任意运算□有:若□□□□□,则(□□□□…□□□)□(□□□□…□□□)。用的一个合同关系□，很容易构造一个新的代数，其中□是A中□的等价类□、□□□□A的集合,□的运算□□□□Ω定义为□□。由于□是合同关系,故此定义确给出□的一个运算。显然,〈A,Ω〉和〈□,Ω〉是同型代数，而A到□上的对应□:□→□是它们间的同态。

用正规子群（或理想）可以刻画群（或环）的合同关系，但是这对Ω代数已不可能了，例如半群的合同关系已不能用子半群去刻画。然而，对于泛代数仍有和群论类似的关于同态的基本定理以及第一、第二同构定理。

和群（环）论类似，在泛代数中也讨论代数的子代数格、合同关系格、代数的自同构群等问题。

任取非空集□ 和集□。每一□□ 对应一个非负整数□□,并把□□称为□□元运算符号。