定义

性质

相差4的孪生素数公式

定义

表兄弟素数是二个相差4的质数，其概念类似孪生素数（二质数的差为2）及六质数（二质数的差为6）。

一千以内的表兄弟素数（OEIS中的数列A023200及A046132) 如下：

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461), (463,467), (487, 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743), (757, 761), (769, 773), (823, 827), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971)

性质

至2009年5月为止已知最大表兄弟素数为（p, p+4），其中

p = (311778476·587502·9001#·(587502·9001#+1)+210)·(587502·9001#−1)/35+1

而9001#是前9001个质数的乘积，也就是素连乘数（primorial）。此质数是由Ken Davis发现，位数为11594位。

孪生质数猜想认为有无穷个孪生质数，也有类似的猜想认为有无穷个表兄弟素数。表兄弟素数也有布朗常数B4，概念和孪生质数的布朗常数类似，为表兄弟素数的倒数和，不过没有考虑质数对(3, 7)：

B4=\\left(\\frac(\\frac{1}{7}+\\frac{1}{11}\\right)+\\left(\\frac{1}{13}+\\frac{1}{17}\\right)+\\left(\\frac{1}{19}+\\frac{1}{23}\\right)+\\cdots.

Marek Wolf在1996年计算所有小于2^42的表兄弟素数的倒数和，其数值如下：

B4 ≈ 1.1970449

相差4的孪生素数公式

已经知道定理：

“若自然数w与w+4都不能被不大于\\sqrt{w+4}任何素数

整除，则w与w+4都是素数，我们称为相差4的孪生素数，又叫cousin数”。

这是利用素数判定法则“若自然数n不能被不大于\\sqrt{n}任何素数

整除，则n是一个素数。（代数学辞典259页，上海教育出版社1985年版）

我们可以把定理的汉字内容等价转换成为英语字母表示：

w=p{1}m{1}+f{1}=p{2}m{2}+f{2}=\\dots=p{k}m{k}+f{k} ①

其中p{1},p{2},dots,p{k}。表示顺序素数2，3，5，....。f≠0,f≠pi − 4。

若w<P^{2} {k+1}-4,则w与w+4是一对素数。

我们可以把①式内容等价转换成为同余式组表示：

w \\equiv f 1 \\pmod{p 1}, w \\equiv f 2\\pmod{p 2}, \\dots, w \\equiv f k\\pomd{p k}②

由于②的模p1,p2,...,pk 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的f1，f2，...，fk，②式在

p1p2...pk范围内有唯一解。

例如k=1时，w = 2m1 + 1，解得w=3。3<3&sup2;-4，得知3与3+4是相差4的孪生素数。求得了（3，3&sup2;）区间的全部相差4的孪生素数。

k=2时，w = 2m1 + 1 = 3m2 + 1，解得w=13，19； 19<5&sup2;-4。得知13与13+4,19与19+4都是相差4的孪生素数。求得了（5，5&sup2;）区间的全部相差4的孪生素数。

k=3时,

-----------------------|5m3 + 2|5m3 + 3|5m3 + 4|

-----------------------|------|------|------|

w = 2m1 + 1 = 3m2 + 1= |--37--|13和43|--19--|

-----------------------------------------------

求得了（7，7&sup2;）区间的全部相差4的孪生素数。即：37与37+4,43与43+4，....，都是相差4的孪生素数。

仿此下去可以求得任意大的数以内的全部相差4的孪生素数。并且一个不漏地求得。对于所有可能的

f{1},f{2},dots,f{k}值，(1)和(2)式在p1p2...pk范围内，有（p1 − 1）（p2 − 2）(p3 − 2)...（pk − 2）个解。相差4的孪生素数猜想就是说，在k任意大时（1）和（2）式都有小于p^{2}{k+1}-4的解。实际上，孪生素数猜想已经转入初等数论的范围.