1、正箱体简介(1.1、正箱体的数学约定 1.2、正箱体的数学分类)

2、箱变坐标系简介(2.1、扭面方程的最初思路 2.2、箱变坐标系的数学约定 2.3、箱变坐标系的建立方法)

3、各种变值坐标系提示

1、正箱体简介

由于变值坐标系的最初尝试来自求解正箱体顶底面的扭面方程，故简介如下：

1.1、正箱体的数学约定

正箱体的概念来自常规箱体(如长方体)，但又与之有所不同。所谓正箱体是指有四个侧面同垂(或正交)于某一平面的凸棱六面体(或叫六面凸棱体，如图1)。这里的凸棱体是指各相邻侧面所构成的内角均不大于π值的空间体，以避免对应坐标网线的相互交叉。正箱体是常规储量计算块段(如各种投影法的储量计算块段)的一种常见形态，因其尚无适当的通用术语而又具有常规箱体“四壁同垂(正交)一面”的基本特征而故名(正箱体也可简称为箱体或箱)。正箱体可视为是对常规箱体的扩展，比常规箱体更具普遍性。

其中，正箱体的四个侧面分别称为横侧面(如图中1234、5678)和纵侧面(如图中5621、8734)，剩余两面称为顶底面(如图中5841、6732)。其中，四个侧面既可为平面，也可为直线型曲面(如柱状抛物面)；顶底面可为平面、曲面或各种扭面。正箱体的纵、横侧面之交线叫高棱(图中12、34、56、78)，顶底面间与高棱同向的直线叫高线，侧面上的高线叫侧线，所有侧线和高线均为直线且相互平行。与四个侧面同垂的平面叫基平面(图中的J面)，四个侧面在基平面上的投影叫基底或箱基或箱底(图中6/7/3/2/)，在不致引起误解时，基平面和基底均可称为基面。两个横侧面间的纵向距离叫长距，两个纵侧面间的横向距离叫宽距，顶底面间的高线长度叫高距。由于长距、宽距和高距均为处处可变，故又可统称为变距。这里的长距、宽距和高距与相互垂直的三度方向相对应，其中的长距和宽距概念不同于通常的长度和宽度。正箱体任意内插位置的高距可由其四个侧面的对应高距所决定，亦即内插高距的变化特征对应于顶底面的线性或非线性扭面。所谓扭面可由一条母线沿着两条异面导线适当移动或伴有某种变化而成，因其两条异面导线常可由某种常规的同面导线经适当扭动而成而故名，其扭动角度可叫扭面角或扭角。当导线和母线均为直线时则为线性扭面(图1)，否则，既可为非线性扭面也可为线性扭面(图2)。而常规的平面和曲面只不过是扭面角为0的一种特例，因此，扭面是客观存在的更为广泛的基本面型。扭面可有单形与复形之分，所谓单形扭面是指该扭面可由一个连续型扭面方程来表达，否则为复形扭面，此处只讨论单形扭面。

1.2、正箱体的数学分类

如图2所示(图中为标准正箱体，也可为一般正箱体)，按各侧面的相互关系可将正箱体分为近箱体和次箱体两个大类，其中，近箱体是指有两个侧面相互平行的正箱体[比较接近常规箱体，图中(a)～(d)]，次箱体是指任意两个不相邻侧面均不平行的正箱体[与常规箱体的差别较大，图中(e)～(h)]。近箱体又可分为等长近箱体(两个横侧面平行)和等宽近箱体(两个纵侧面平行)。将近箱体和次箱体进行比较可知，前者又可视为后者的特殊情形，亦即后者可以包含前者。当正箱体有三个共点侧面为互垂平面时可叫标准正箱体，否则叫一般正箱体。一般正箱体均可通过降维变换(变换方法见后)而成标准正箱体。按基面或侧面形状，两种正箱体(近箱体和次箱体)均可分为：直箱体(基面为直边四边形)和曲箱体(基面为曲边四边形，曲边既可内凸也可外凸)。其中，直箱体中的近箱体还可分为方箱体(基底面为矩形)和梯箱体(基底面为梯形)；而曲箱体又可分为单曲箱体(只有长距或宽距为曲线变化)和双曲箱体(长距和宽距均为曲线变化)，标准曲近箱体均为单曲箱体或可变为单曲箱体，曲次箱体既可为单曲箱体也可为双曲箱体。按顶底面的变化特征(由正箱体的高距变化特征所决定)可分为线性正箱体(两底为平面或线性扭面)与非线性正箱体(两底为曲面或非线性扭面，既可上凸也可下凸)。其中，线性直箱体顶底面的对应导线和母线均为空间直线，而线性曲箱体的顶底面虽为线性扭面，但其对应导线和母线均可为空间曲线。将上述分类进行组合可得四种基本类型，即：线性直箱体、线性曲箱体、非线性直箱体、非线性曲箱体。故正箱体共有上述8种基本类型。由上述可知，常规的箱体(长方体)为正箱体的最简单类型。

2、箱变坐标系简介

由于箱变坐标系的最初灵感来自扭面方程的最初尝试，故这里首先对其作一简要说明。

2.1、扭面方程的最初思路

在上述正箱体中，扭面可有线性与非线性之分，其对应方程(即扭面方程)亦有线性与非线性两种基本类型。

(1)线性扭面方程：如图3所示，图中实线为一线性直近箱体，M1、M2两面相互平行但不等宽，顶面为一简单线性扭面。试求其对应方程。下面分两种情形求之：

情形一：当M1、M2两面平行等宽(图中虚线)时则与方箱体相对应，该线性扭面上各点的对应高距沿纵、横方向(严格说是坐标线方向)均呈线性变化。因此，可有常规方法直接推导法求得各点对应高距的线性扭面方程。

情形二：当M1、M2两面平行但不等宽（图3中的实线）或等宽但不平行或既不平行也不等宽时，则该扭面方程将难以采用常规方法直接求出。但若适当改变M1、M2两面间的空间密度，使之变为等长等宽的不等密空间，或适当改变坐标单位使两面间的纵、横坐标单位数各自处处对应相等，便可仿照情形一那样运用常规方法(采用对应坐标单位数)直接求出其扭面方程。其基本方法是：先设定某一基准坐标单位(如坐标轴上的坐标单位)，然后将其乘以某一非0系数(叫坐标系数，可为某一函数)。以上便是解决各种扭面问题的最初思路和方法。

(2)非线性扭面方程：如图4所示，图中实线为一非线性近箱体(也可为其他非线性正箱体)，M1、M2两面平行但不等宽，各侧面上的高距为非线性变化，顶面为一非线性扭面。与线性扭面相比，此类方程较为复杂，而且难以直接求得，但若按照上述思路和方法使两面间的纵、横坐标单位数各自处处对应相等，便可先求出纵、横两个单向非线性变化方程之和，然后减去一个双向线性变化方程，则该非线性扭面方程便不难求得。

上述线性和非线性扭面方程的基本思路和方法从根本上解决了各种扭面问题的精确表达（将自变量代入适当数值便可直接求得对应内插位置的精确函数值），以及各种有关的精确运算。若将常规直角坐标系运用上述思路和方法进行适当改进或扩展便可获得箱变坐标系。

2.2、箱变坐标系的数学约定

箱变坐标系(因其最初来自正箱体而故名)与常规直角坐标系(笛卡儿坐标系)相比，二者既有相同之处也有本质上的不同。如图5，二者的相同之处为：均有坐标原点、相互垂直的坐标轴和各自对应的坐标单位，也均有二轴平面坐标系和三轴空间坐标系等，即有三个基本要素相同。二者的根本不同在于第四要素，即同名坐标单位是否可变(变值)，由此决定了二者的坐标系数和坐标网形不同：常规直角坐标系的同名坐标单位处处相等(等值)，坐标系数或变值系数恒为常数1，故常规的直角坐标系(等值坐标系)可视为箱变坐标系的一种特例(这就如同10进制只是最常用的进位制一样,常数1也只是最常用的坐标系数)，其坐标值可叫等值坐标，其坐标网为均匀的矩形平面网(矩形网)或直方体空间网(方体网，可有三个坐标平面所控制)；箱变(变值)坐标系的同名坐标单位在不同位置是可变的，其对应坐标可叫变值坐标，其坐标网也随之不同。

箱变坐标系的坐标网可以某一标准正箱体为基准或原型(可叫基箱体)，按照等比对应或变值对应进行网状分割而成(如图5，图中的基箱体为线性直次箱体，也可为其他标准正箱体)，分割后的平面图形(对应于二轴箱面坐标系)常为直边或曲边的梯形网(如正箱体的侧面)或任意四边形(如次箱体的底面)，空间图形(对应于三轴箱体坐标系)常为相应的正箱网(此时须由三组箱面所控制)，与基箱体对应的坐标网可叫基准网。在箱变坐标系中，基箱体的三个互垂侧面称为基准侧面或基侧面，与三个坐标平面相对应，另外的三个侧面称为变值侧面或叫变侧面，常用于确定坐标系数(用于坐标系中)或变值系数(用于函数式中)。当基箱体的三个共点互垂侧面与三个坐标平面相互重合时(称为最简位置)，相应坐标系称为最简箱体坐标系；此时，与基侧面对应的平面坐标系可叫最简箱面坐标系(如图5，a为b的OXZ坐标平面)。最简箱体和箱面坐标系可统称为最简箱变坐标系或最简坐标系。

在箱变坐标系中，处处可变的坐标单位(叫变值单位)与某一基准单位(叫基值单位，常为其同名坐标轴上的坐标单位)之比叫坐标系数或变值系数(相当于坐标值自身的变化率),即：变值系数=变值单位/基值单位=变值坐标/基值坐标。亦即：变值坐标=基值坐标×变值系数，此式可叫变值公式，是进行坐标变换或坐标换算的算法依据。当变值系数为1时，则变值坐标=基值坐标=等值坐标。在通常情况下，近箱坐标系至少有一种同名坐标系数恒为1(如等长近箱体的纵向坐标系数，等宽近箱体的横向坐标系数)；次箱坐标系的各种坐标系数全不为1；当各种坐标系数处处为1时，箱变坐标系变为等值坐标系。因此，箱变坐标系与等值坐标系的区别和联系依赖于变值系数。其中，长距和宽距系数的主要作用是将各类正箱体变换为同名坐标单位数处处相等的方箱体。

由上述可知,箱变坐标系应处于以其基值单位为坐标单位的等值坐标系中。因此,箱变坐标系应为一种包含直角等值坐标系的复合坐标系,而且便于进行不同坐标单位的相互变换。通常，某一点的坐标常用基值坐标表示[可用大写字母表示，如(X,Y)]，也可用变值或等值坐标表示[可用小写字母表示，如(x,y)]。在同一复合坐标系中，同一点位的变值坐标与等值坐标的坐标单位值和单位数虽然不同，但两种坐标值应完全相同，亦即二者同位同值。

在最简箱变坐标系(如图5)中，基箱体在X轴上的宽距叫基宽(01)，在Y轴上的长距叫基长(02)，在Z轴上的高距叫基高(03)。这里的基长、基宽和基高可统称为基箱体的基距。各种基距均不能为0，否则应变换基侧面求其基距。有时，基距也可根据需要适当设定(如变值合并的通基变换)。由于箱变坐标系的坐标网是对基箱体的等比对应或变值对应分割而成，故X、Y和Z的变值系数可分别叫宽距系数（=宽距/基宽)、长距系数（=长距/基长)和高距系数（=高距/基高)。这里的长距、宽距和高距均可表示为截距不为0的某一初等函数，基长、基宽和基高等于各自对应函数的截距。在各种正箱坐标系中，长距和宽距系数均为一元，高距系数一般为二元，特殊情况也可为一元（此时的高距函数也应为一元）。

归纳上述，可得最简箱变坐标系的三种基本对应(特性)：一为等基对应，即同一坐标网线或网面上的同名坐标基值(或基值坐标或坐标单位数)处处对应(相等)，不同坐标网线或网面上的同名坐标基值处处不等；二为变值对应，即基值相同的同名变值坐标处处对应(位于同一网线或网面上)，基值不同的变值坐标互不对应(不在同一网线或网面上)；三为等比对应，即任意两个同位的变值坐标之比等于各自对应的基值坐标之比，反之依然(即两个基值坐标之比等于各自对应的任意两个同位变值坐标之比)。以上三种对应同样适用于等值坐标系，只不过其坐标基值与其变值相同而已。

此外，若将坐标单位值视为质量或密度，则等值坐标系可对应于均质或均匀空间，箱变坐标系可对应于非均质或非均匀空间，而前者又可视为后者的特殊情形。从坐标网线来看，等值坐标系对应于静态的线性无限空间，箱变坐标系可扩展到动态的非线性有限到无限空间（后者包含了前者）。进而，便可实现各种物理空间与各种数学空间的相互对应。

以上对正箱坐标系的有关说明也同样适用于斜箱坐标系(其基箱体应为标准斜箱体)。斜箱坐标系的变值系数仍然是将其基箱体变为坐标单位数对应相同的方箱体，但由于其有关算式和最简变换较为复杂，其有关算法(如积分运算等)还不成熟,尚无用于CS法,故不详述。

2.3、箱变坐标系的建立方法

这里重点说明最简坐标系。此时，可先建立笛卡儿坐标系，然后求出其坐标系数并做好标注即可。这里的关键是如何求出坐标系数，通常可有设定法和基箱法两种求法。设定法(无基箱体时)可根据实际需要直接将坐标系数设定为首项为1的某一连续型初等函数，此时，任取一组基距便可获得与之对应的某一基箱体；基箱法(有基箱体时)通常是将某一基箱体的基侧面与笛卡儿坐标平面相互重合(属最简位置)，并求出其长距、宽距和高距的函数式(即各自对应的变侧面方程)，然后除以同名基距(亦即各自对应函数的截距，不能为0)而得相应变值系数(用K表示，首项为1)。此时的截距为基值坐标，函数式为其对应的变值坐标。基箱法的一般步骤是：首先求出基箱体的各种变侧面和变距方程，然后除以各自的对应基距即可。

采用基箱法建立最简（标准）坐标系时，应做到三重合三对应(箱面坐标系应为二重合二对应)。三重合常为：XOZ平面与1号横侧面重合，YOZ平面与1号纵侧面重合，XOY平面与底面重合；三对应常为：Y坐标(也可为X或Z)与长距(纵向)对应，X坐标(也可为Y或Z)与宽距(横向)对应，Z坐标(也可为X或Y)与高距(箱高)对应。其中的Y(长距)和X(宽距)坐标，在近箱体中只有一种为变值坐标，另一种为等值坐标；在次箱体中两种均为变值坐标；Z(高距)坐标则既可为变值坐标也可为等值坐标(基箱体等高时)。由于箱变坐标系的坐标系数也是可变的，故可将其视为不均匀的动态坐标系。

3、各种变值坐标系提示

在现代数学中，比较常用的常规坐标系可有五种（图6），而上述箱变坐标系只是对常规直角坐标系的初步扩展，此时可叫等基方法(包括等基等值和等基变值，其中的“等基”是指同名基值单位处处相等，可视为匀速运动的速度，对应基值坐标则为匀速运动的距离)，若再进一步扩展可得变基方法(包括变基等值和变基变值，其中的“变基”是指同名基值单位处处可变，可视为变速运动的速度，对应基值坐标则为变速运动的距离)。进而若将其它几种常规坐标系(如极坐标系、柱面坐标系和球面坐标系等)和相应函数也进行同样扩展便可构成一套比较完整的变值坐标系、变值函数和变值运算等变值方法（即CS变值方法）。其中，与五种常规坐标系相对应的各种变值坐标系可有20种组合，其基本特征列于下表，供参考。