引言

1、 变值函数的四则运算

2、 变值函数的积分运算(2.1、变积运算: 2.2、变值函数的合积运算：)

3、 变值函数的坐标变换：

变值运算

——一种扩展的新型数学运算

引言

各种变值函数的有关运算叫变值运算。其各种基本算法（变值算法）应当是对等值函数各类基本算法（等值算法）的继承、包容和扩展（基值函数也应如此）。这些扩展算法与等值算法的根本区别在于变值系数不再恒为1，其中，尤其是各种异基四则运算（基距不同的四则运算）和各种积分运算等，更是变值算法所特有。

因此，在各种变值运算中，要始终牢记其对应基距和变值系数。现将变值函数的部分算法作一简要说明，其中，包含积分运算的有关算法只限于正箱坐标系（与斜箱坐标系对应的积分运算目前尚不成熟）。

1、 变值函数的四则运算

变值函数和基值函数的四则运算可分为同基和异基两种算法。同基四则运算的基本算法与常规四则运算相同，但应牢记变值系数（运算前后变值系数不变），尤其是异系运算更应如此。当变值系数恒为1时，二者完全相同。

异基四则运算则应依据变值函数的基本性质,先通基后运算，通基后可按同基运算进行。其中，变值加减运算还可引申扩展为变值合并运算（变合运算）与变值分解运算（变分运算）。变合运算相当于不同基距的基箱面或基箱体的合并，可将均匀或不均匀空间合并为不均匀空间。变分运算属于变合运算的逆运算，相当于对基箱面或基箱体的分解，可将均匀或不均匀空间分解为不均匀或均匀空间。这里只对较为常用的作一说明，而变分运算可按变合运算的逆过程适当求之。

异基变合运算与常规的异分母加减运算相类似，亦即先通基后合并，以便可使自变量采用同值同步进行有关运算。变合运算可用于各种一元和多元函数，下面重点说明一元和二元。

上述一元和二元的变合运算通常对应于不同空间的相互合并。仿照上述方法亦可进行多元变合运算。

2、 变值函数的积分运算

目前比较成熟的变值函数积分运算（叫变积运算）还只限于正箱坐标系及其对应的一元到三元。其基本运算规则与等值函数完全相同，所不同的是必须要有变值系数系数的直接参与。下面介绍两种情形，即单一变值函数的积分运算(或叫单积运算)和非单一变值函数的合并和积分运算(合积运算)。

2.1、变积运算:

由于等值函数的变值系数恒为1，故其积分结果对应于密度或单位与基准（基值）单位相同的实际数值（如密度均匀的面积或体积数值等）；但变值函数的变值系数通常不为常数1，自变量的取值通常只是同名坐标单位数，所对应的密度或单位并不相同，故其直接积分结果仍然只是密度或单位不等的对应单位数，并非与基准（基值）单位相同的实际数值，二者存在某一差值。这一差值来自积分变量的变值系数余项。因此，若要得到密度或单位与基值单位相同的实际数值（即补上相应差值），则应将被积函数的对应单位还原为基值单位，亦即应将被积函数进行还原，通常是将被积函数（显函数）乘以某一系数（可为数值或算式）。由于该系数对积分运算具有上述还原作用，故可称之为还原系数或积分系数（用U表示）。这种还原只对被积函数中不含变值系数的积分变量进行，此时的积分变量叫还原变量。 在通常情况下，还原变量为宽距变量和长距变量。此时，还原系数可有两种求法：当只有一个还原变量时，还原系数等于对应变值系数；当有两个还原变量时，还原系数等于两个对应变值系数的首项之积与余项之和。现将比较常用的还原系数列示如下（左下二图）：以上各种积分变量的上、下限均为常数，当含有函数项时（如多重积分），其有关运算仍与常规的积分运算方法相同。

2.2、变值函数的合积运算：

合积运算是指同时包含变合和变积运算的算法，仍有同基与异基之分。

（1）同基合积运算：本法是指各单式均为同基函数合积运算，其中，又有同系与异系之分，前者可视为后者的特殊情形。通基合积的一般步骤是：一还原、二求和、三积分。现以二元为例说明如下（右下图）：

当各单式为同基同系时，还原系数相同，前两步可以互换，也可将还原系数提到求和符号之前；当各单式为异基异系时，还原系数不同，前两步不能互换；当积分变量采用同值同步时，积分运算只能放在最后；当积分变量不采用同值同步时，其后两步可以互换。

（2）异基合积运算：本法是指各单式不为同基函数的合积运算。其一般步骤是：一通基、二还原、三求和、四积分。这里先进行通基使各单式变为同基算式，然后便可按照同基算式进行合积运算，其中，又有同系与异系之分（前者可视为后者的

特殊情形）。这里仍以二元为例作一说明（右下图）。

以上为二元类合积运算的基本算法，当各单式为三元高距坐标算式(为高距算式的一个原函数)或二元高距系数算式时(此时为箱体坐标系)，则可先求出对应高距的二元算式(如将二元高距系数算式对Z定积分而得)，然后按照上述方法求之。

另当上述各单式为高距坐标的二元算式(高距算式的一个原函数)或为高距系数的一元算式时(常与箱面坐标系相对应)，此时,亦可先求出各单式的高距算式(如将一元高距系数算式对Z定积分而得),然后可由上述二元类合积算式简化而得。其一般求法如下（左下图）:

在上述合积运算的一般算式中，积分符号与求和符号也可互换位置，亦即两种运算也可交换顺序。另当积分变量不采用同值同步时，可省去其通基变换。

3、 变值函数的坐标变换：

在变值函数中，总体来说，自变量的取值均与基值坐标相对应，基值函数也同样如此，因此，当需要自变量的实际坐标位置（即对应变值坐标）时，则应进行基值坐标与变值坐标的相互变换。其具体变换方法可依据变值公式进行，即：变值坐标=基值坐标×变值系数，或基值坐标=变值坐标/变值系数。应当注意的是，当变值函数经过变基运算或通基变换时，上式中的变值系数应采用新的变值系数。

上述的变合、变积与合积三种运算为变值函数所特有，其中，变合和合积运算可用于一维到三维的不均匀空间的的精确合并。此外，作为上述运算的逆运算（变分运算、变微运算、分积运算）尚待系统探讨。有兴趣的读者可按积分运算、合并运算、合积运算的逆过程对其试求之，其中，分解运算、分积运算可先对原式的图象直观分解或对原式各项采用同号分解，并适当设定分解后的基长、基宽、基高等，然后分步求之。

归纳上述各种变值运算可知，当变值系数均为常数1时，其运算规则便与常规等值函数的算法完全相同，这也充分说明，变值函数是对等值函数的合理扩展（如同实数是对有理数的合理扩展一样）。作为本法一个应用实例的CS储量积分法已首次实现了对圈矿模型同时进行精确快捷定位计算这一世界难题。不仅如此，有关变值方法将使更多疑难数学问题迎刃而解。不过，该法只对部分变值算法作了验证，还有大量的扩展算法和有关应用尚需继续实践与探索。