阿罗定理 Arrow’s theorem

又叫不可能定理，由肯尼思·阿罗(Kenneth J·Arrow) 提出的一种社会选择理论。

阿罗定理的提出与社会福利函数概念有关，它旨在探究到底能否按照一套合理的程序从单个人的偏好次序推导出社会偏好次序从而社会最大福利的问题。其结论是否定的。阿罗指出，各个社会成员总是根据各种社会或经济政策可能给他们带来的后果来判断这些政策的好坏，因而有多少单个人，就会有多少种选择社会活动的标准。由于各个人的偏好不尽相同，他们进行社会政策选择的标准也就各不相同，因而便会有一些人偏好于一套政策而另一些人则偏好于另一套政策的情况发生。可是在每一个社会中都有相当一部分社会活动是必须经由集体选择来决定的，于是便产生了社会选择的问题。

社会选择理论的基本问题是： 给定一个可能的社会决策范围 (在其中一个决策将被选择) 和与社会各成员相伴随的标准，如何找到一种进行选择的方法。这种方法应在某种程度上反映各单个人的标准，并应使用关于可能的社会活动范围和单个人标准的所有资料。一种单纯的社会选择是投票，在这里不论是候选人还是各种议案都由每个投票人评估，这种评估最终反映到投票上。而社会的决策，即究竟哪个候选人当选或哪个议案被通过，是通过根据所采用的特定的投票方法来汇总选票这样的方式形成的。由此，社会的决策便依赖于两个因素： 一是各种可供选择的目标 (候选人或议案) 的范围，二是每个投票人对各种可供选择的目标的排列。投票程序有一个非常重要的特点，即只有单个人对于有效范围内的各种可供选择目标的偏好才能够影响选择，而对处于有效范围以外的目标的偏好则不能影响选择。这一特点在社会选择机制所要求的条件中具有关键作用。

在上述预备知识的基础上，就可说明阿罗定理。阿罗定理的含义是： 满足所有合理条件的社会选择机制是不存在的。这些条件可以概括如下： (1) 条件U，它规定选择的安排将面对对于可供选择目标集合的各种偏好次序的所有逻辑上可能存在的剖面; (2)条件M，它规定了单调性，含义是，假设在某一给定剖面里有x社会地优于y，现如果有一新剖面，在其中某些人对x 的偏好提高而没有人对x的偏好降低，那么在包含新剖面的社会次序中x便优于y; (3) 条件I，它规定了各不相关的可供选择目标之间的独立性; (4)条件N，它规定了非强加性，即排除了对于某些可供选择的目标而言社会的选择将与所有剖面的选择都一致的情况; (5) 条件D，即非独裁条件，它规定选择安排是非独裁的。

根据上述条件，阿罗提出定理1： 满足条件U、M、 I、N、D的社会选择结构是不存在的。具体证明方法如下。根据条件I，社会在任意两个可选择目标之间的偏好仅取决于各单个人对这两个目标的偏好，而不受他们对于任何其他目标的偏好的影响。在此基础上再来定义关于某一集合的决定性，如果当在一个单个人集合中所有成员都偏好于x 而不偏好y时社会的偏好也是 x而不是y，那么就说此集合对于选择x而不是y具有决定性。显然，一个包含所有投票人的集合将具有决定性。接下来再选取一个其成员尽可能地少的决定性集合 (不能少到只包含一个成员，因为这将与条件D的非独裁规定相矛盾)，将此最小的决定性集合分裂为两个子集，记作V1和V2，而令V3包含所有其他投票人，则V1和V2各自均不具有决定性 (虽然它们合起来具有决定性)。现给出三个可供选择的目标： x、y、z。假设V1中的所有成员的偏好次序均为 xyz，V2中所有成员的偏好次序为yzx，V3中的偏好次序为 zxy。那么，由于除V2以外所有成员都偏好于x而不偏好 y，x必然社会地优于或无差异于y。又由于V1与V2合起来是一个决定性集合，而在两个子集中都有y优于z，故又有y社会地优于z。根据可传递性，x必社会地优于z。可是实际上只有V1的成员更偏好于x而不偏好于z，所以要使可传递性成立将要求V1成为决定性集合。而V1作为最小的决定性集合的子集，实际上是不具有决定性的，由此上述不可能定理便得到了证明。

以后，阿罗在上述5个条件之上又补充了一个条件，即条件P，它被称为帕累托条件，含义是如果所有单个人都偏好于x而不是y，则x便社会地优于y。这一条件实际上已隐含在前面的条件M、I、 N中，如果考虑到它则M与 N将不再需要，这样阿罗又对不可能定理作进一步的表述，提出定理2： 满足条件 U、P、I、D的社会选择结构是不存在的。