定义

一些结论

定义

这个函数虽然挂着 Riemann 的大名， 其实并不是 Riemann 首先提出的。 但 Riemann 虽然不是这一函数的提出者， 他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解， 为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。 后人为了纪念 Riemann 的卓越贡献， 就用他的名字命名了这一函数。那么究竟什么是 Riemann ζ 函数呢？ Riemann ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数) ζ(s) = Σn n (Re(s) > 1) 在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为——如我们已经注明的——这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。 Riemann 找到了这一表达式的解析延拓 (当然 Riemann 没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语)。 运用路径积分， 解析延拓后的 Riemann ζ 函数可以表示为： 这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞——离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分； 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点 (simple pole) 外， 在整个复平面上处处解析。 这样的表达式是所谓的亚纯函数 (meromorphic function)——即除了在一个孤立点集 (set of isolated points) 上存在极点 (pole) 外， 在整个在复平面上处处解析的函数——的一个例子。 这就是 Riemann ζ 函数的完整定义。

一些结论

运用上面的积分表达式可以证明， Riemann ζ 函数满足以下代数关系式——也叫函数方程 (functional equation)： ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)sin(πs/2)ζ(1-s) 从这个关系式中不难发现， Riemann ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零——因为 sin(πs/2) 为零。 复平面上的这种使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riemann ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是 Riemann ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单， 被称为 Riemann ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外， Riemann ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。 对 Riemann ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。 我们所要讨论的 Riemann 猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想， 在这里我们先把它的内容表述一下， 然后再叙述它的来笼去脉： Riemann 猜想: Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。 在 Riemann 猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语， Riemann 猜想也可以表述为： Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。