Nimber简介

加法和乘法表

Nimber简介

在数学适当的类 nimbers (偶尔地叫Grundy数字)介绍 组合博奕论他们被定义作为价值的地方 nim 堆，但在比赛更大的类升起由于Sprague-Grundy定理. 它是适当的类序数资助与新nimber加法 并且nimber增殖从序数加法和序数增殖是分明的。

Sprague-Grundy定理阐明，每 公平的比赛 与某一大小的nim堆是等效的。 Nimber加法(亦称 nim加法)能使用计算唯一堆的大小等效与堆的一件收藏品。

那里为a 集合 S 序数， mex(S)被定义是“极小值被排除的序数”，即。 mex (S)是不是元素的最小的序数 S. 为有限序数， nim总和 在计算机容易地被评估通过采取专属或对应编号(藉以给数字他们 二进制 扩展和二进制扩展 x xor y 被评估 位-明智)。

Nimber增殖(nim增殖)递归地被定义

α β = mex {α ′β + α β ′−α′β′：α′<α，β′<β}=mex{α′β+αβ′+α′β ′：α ′<α，β′<β}。

除了事实nimbers形成a 适当的类 而不是a 集合nimbers类确定 代数闭合的领域 典型 2. nimber叠加性身分是序数0，并且nimber乘身分是序数1。 跟上特征是2，序数α的nimber叠加性反面是α。 非零序数α的nimber乘反面给由1/α = mex (S)的地方 S 是最小的套序数(nimbers)这样

1、0是 元素 S;

2、如果0 < α ′ < α和β ′是元素 S然后[1 + (α ′ − α) β ′]/α ′也是元素 S.

为所有自然数 n套nimbers较少比 形成 Galois领域 秩序.和在nimber加法情况下，有计算有限序数nimber产品手段。 这取决于规则那

1、分明Fermat 2力量(形式的数字nimber产品 )与他们普通的产品是相等的;

2、Fermat 2力量的nimber正方形 x 是相等的到3x/2如被评估在自然数的普通的增殖之下。

nimbers的最小的代数闭合的领域比序数是套nimbers较少 ω是最小的无限序数的地方。 因而断定作为nimber， 是卓越在领域。

加法和乘法表

以下表陈列加法和增殖在前16 nimbers之中。 (这个子集是闭合的在两操作之下，因为16是形式.)

Nimber加法：

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14

2 2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13

3 3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12

4 4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11

5 5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10

6 6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9

7 7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8

8 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7

9 9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6

10 10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5

11 11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4

12 12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3

13 13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2

14 14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1

15 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Nimber增殖

× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 0 2 3 1 8 10 11 9 12 14 15 13 4 6 7 5

3 0 3 1 2 12 15 13 14 4 7 5 6 8 11 9 10

4 0 4 8 12 6 2 14 10 11 15 3 7 13 9 5 1

5 0 5 10 15 2 7 8 13 3 6 9 12 1 4 11 14

6 0 6 11 13 14 8 5 3 7 1 12 10 9 15 2 4

7 0 7 9 14 10 13 3 4 15 8 6 1 5 2 12 11

8 0 8 12 4 11 3 7 15 13 5 1 9 6 14 10 2

9 0 9 14 7 15 6 1 8 5 12 11 2 10 3 4 13

10 0 10 15 5 3 9 12 6 1 11 14 4 2 8 13 7

11 0 11 13 6 7 12 10 1 9 2 4 15 14 5 3 8

12 0 12 4 8 13 1 9 5 6 10 2 14 11 7 15 3

13 0 13 6 11 9 4 15 2 14 3 8 5 7 10 1 12

14 0 14 7 9 5 11 2 12 10 4 13 3 15 1 8 6

15 0 15 5 10 1 14 4 11 2 13 7 8 3 12 6 9