分析

稳定状态下的公式

例

M/M/1排队模型（M/M/1 model）是一种单一伺服器（single-server）的（排队模型），可用作模拟不少系统的运作。

依据开恩特罗符号必须有下列的条件：

到达时间卜瓦松过程（Poisson process）；

服务时间是指数分布（exponentially distributed）；

只有一部伺服器（server）

队列长度无限制

可加入队列的人数为无限

分析

这种模型是一种出生-死亡过程，此随机过程中的每一个状态代表模型中人数的数目。因为模型的队列长度无限且参与人数亦无限，故此状态数目亦为无限。例如状态0表示模型闲置、状态1表示模型有一人在接受服务、状态2表示模型有二人（一人正接受服务、一人在等候），如此类推。 此模型中，出生率（即加入队列的速率）λ在各状态中均相同，死亡率（即完成服务离开队列的速率）μ亦在各状态中相同（除了状态0，因其不可能有人离开队列）。故此，在任何状态下，只有两种事情可能发生：

有人加入队列。如果模型在状态k，它会以速率λ进入状态k + 1

有人离开队列。如果模型在状态k（k不等于0），它会以速率μ进入状态k − 1

由此可见，模型的隐定条件为λ < μ。如果死亡率小于出生率，则队列中的平均人数为无限大，故此这种系统没有平衡点。

此模型中有几项数值常被测量，例如：

一人在系统中的平均逗留时间

一人在接受服务前的平均等候时间

整个系统中的平均人数

等候队列的平均人数

一单位时间内系统完成服务人数，即服务速度

稳定状态下的公式

定义

则模型在状态i的机率为

由此，可给出各测量数值的公式：

整个系统的平均人数N：

，且其变异（variance）为.

一单位时间内系统完成服务的人数：

在队列中等候服务的人数：

一人在系统中的平均逗留（等候+接受服务）时间：

一人的平均等候时间：

例

可用M/M/1模型的例子众多，例如只有一位员工的邮局，只有一队列。客人进来，排队、接受服务、离开。如果客人进来的数目符合泊松过程，且服务时间是指数分布，则可用M/M/1模拟，并算出平均队列长度、不同等候时间的机率等。

M/M/1可一般化成为M/M/n模型，使可用时接受服务的人数为大于一。历史上，M/M/n模型首先被用来模拟电话系统，因为荷兰工程师Erlang发现客人打电话的速率符合泊松过程，且通话时间是指数分布，所以占用通讯线路的数目和等待接线的人数符合M/M/n模型。