正交性物产

Legendre多项式的例子

Legendre多项式的应用在物理

Legendre多项式另外的物产

被转移的Legendre多项式

分数秩序Legendre多项式

参见

外部链接

参考

在 数学, Legendre作用 解答 Legendre的微分方程:

他们以后被命名 Adrien-Marie Legendre. 这 常微分方程 频繁地遇到 物理 并且其他技术领域。 特别是，它发生，当解决 Laplace的等式 (和关连 偏微分方程) 球状座标.

Legendre微分方程也许使用标准解决 电源串联 方法。 等式有 规则单一点 在 x= ± 1如此，级数解关于起源只将一般来说，聚合为 |x| < 1. 当 n是整数，解答Pn是规则的(x) x=1也是正规兵在 x=-1和系列为这种解答终止(即。 是多项式)。

这些解答为 n = 0， 1， 2，… (以正常化 Pn(1)=1)形式a 多项序列 正交多项式 叫 Legendre多项式. 每Legendre多项Pn(x)是 nth度多项式。 它也许被表达使用 Rodrigues的惯例:

内容
1 正交性物产2 Legendre多项式的例子3 Legendre多项式的应用在物理4 Legendre多项式另外的物产5 被转移的Legendre多项式6 分数秩序Legendre多项式7 参见8 外部链接9 参考

正交性物产

Legendre多项式的重要物产是他们是 正交 关于 L内积 在间隔时间?1 ≤ x ≤ 1:

(δ的地方mn 表示 Kronecker三角洲相等到1，如果 m = n 并且到0否则)。 实际上， Legendre多项式的供选择的派生是通过执行 克Schmidt过程 在多项式{1， x, x…} 关于这内积。 这正交性物产的原因是Legendre微分方程可以被观看作为a Sturm-Liouville问题

那里本征值λ对应 n(n+1).

Legendre多项式的例子

这些是最初的少数Legendre多项式：

n　

0　

1　

2　

3　

4　

5　

6　

7　

8　

9　

10　
这些多项式图表(由决定 n = 5)如下所示：

Legendre多项式的应用在物理

Legendre多项式是有用的在扩展作用象

那里 r 并且 r' 是传染媒介的长度 并且 分别和 γ 是角度在那些二传染媒介之间。 这扩展在哪里举行 r > r'. 这个表示用于，例如，获得a潜力 点电荷毛毡在点 当充电位于点时 . 当集成这个表示在一块连续的电荷分布时，扩展使用Legendre多项式也许是有用的。

Legendre多项式在解答发生 Laplace等式 潜力, 在空间的一个无充电区域，运用方法 分离变量法边界条件有轴向对称的地方(对的没有依赖性 方位角角度). 那里 是对称轴和 θ 是角度在观察员的位置之间和 轴(天顶角度)，解答为潜力将是

并且 是根据每个问题的边界条件将被确定.

Legendre多项式在多极的扩展

Legendre多项式也是有用的在形式的扩展作用(这是相同象前面，少许不同地写) ：

哪些升起自然地 多极的扩展. 等式的左边是 母函数 为Legendre多项式。

为例， 电潜力 Φ (rθ) (在 球状座标)由于a 点电荷 位于 z-轴在 z = a (。 2) 变化喜欢

如果半径 r 观察点 P 大于 a潜力在Legendre多项式也许被扩展

那里我们定义了了 η = a / r < 1 并且 x = cosθ. 这扩展用于开发法线 多极的扩展.

相反地，如果半径 r 观察点 P 小于 a潜力在Legendre多项式也许仍然被扩展如上所述，但与 a 并且 r 交换。 这扩展是内部多极的扩展的依据。

Legendre多项式另外的物产

Legendre多项式是相称的或反对称，那是

从微分方程和正交性物产是结垢的独立， Legendre多项式的定义“通过被称规范化” (有时叫“正常化”，但注意实际准则不是团结)，以便

在终点给衍生物

Legendre多项式可以使用三个期限递归关系被修建

并且

有用为Legendre多项式的综合化是

被转移的Legendre多项式

被转移的Legendre多项式 被定义 . 这里“转移的”作用 (实际上，它是 仿射变换)被选择这样它 制约 到间隔时间 I= [0,1] bijectively地图 I 到间隔时间 [?1,1]暗示多项式 是正交的 I:

为被转移的Legendre多项式给一个明确表示

类似物 Rodrigues的惯例 为被转移的Legendre多项式是：

最初的少数被转移的Legendre多项式是：

n　

0　1

1　2x ? 1

2　6x ? 6x + 1

3　20x ? 30x + 12x ? 1

分数秩序Legendre多项式

分数秩序Legendre多项式从分数衍生物的插入存在并且跟随如被定义 分数微积分 并且非整数 factorials (由定义 伽玛作用)入 Rodrigues的惯例. 方次数 当然代表根的成为的分数方次数。

参见

高斯求积分法伴生的Legendre作用Legendre有理函数Turán的不平等

外部链接

Legendre多项式的快的不拘形式的派生就氢的量子力学的状况钨MathWorld词条在Legendre多项式模块为Legendre多项式由约翰? H。 Mathews詹姆斯? B.博士。 Calvert的文章在Legendre多项式从他的数学的个人收藏

参考

^ 杰克逊， J.D。 古典电动力学第3个编辑、威里& Sons 1999年。 第103页Abramowitz、米尔顿& Stegun，艾琳A.， eds。 (1965), “第8章”, 数学函数手册 与惯例、图表和数学表纽约： 多弗， 国际标准书号0-486-61272-4?参见 第22章.Belousov， S。 L. (1962), 正常化的伴生的Legendre多项式表 数学桌系列卷。 18，巴格曼出版社， 379p。