HB

基本概念

HB

当考虑系统动态环节后, 系统将可能遇到Hopf分岔(Hopf bifurcation, 缩写为HB) 现象, 相应的失稳为振荡型失稳。

微分方程理论在自动控制、航天技术、生态生物等方面一直有着广泛的应用，在这些实际应用中，系统通常都是一些含有参数的微分方程组。考虑如下形式的系统：

dX/dt=f(X, λ,μ) (1)

系统（1）的解显然随参数μ的变化而变化。如果λ在λ等于一个确定值的一个小邻域内变化时，系统（1）在相空间的相图拓扑结构发生了变化，那么就称系统发生了分岔，称λ为分岔参数，λ的确定值为分岔值。

分岔是一种十分普遍的现象，而且它对把握系统解的性质和行为有着十分重要的意义。分岔包括静态分岔和动态分岔。Hopf分岔即是一种十分重要的动态分岔现象，若系统（1）发生发生Hopf分岔，则参数λ在分岔值附近变化时，系统平衡点的稳定性发生改变，并在平衡点的小邻域内产生周期解。在实际模型中Hopf分岔是十分普遍的。例如：经济危机的周期性发生，心脏的周期跳动…都是一种Hopf分岔。

而今在应用数学中，Hopf分岔理论已经成为研究微分方程小振幅周期解产生和消亡的经典工具。因此，对Hopf分岔的研究是十分有意义的。

基本概念

不妨设系统（1） 的平衡点总在原点O，即：

f(0,μ)≡ 0

设 A(μ) =(Df)|(0,μ) ，且 A(μ)有特征值

（H1）σ( μ) ±iω(μ) ,σ(0)=0,ω(0)=ωο

(H2) A(μ)的其它特征值实部都小于0

在（H1）（H2）假定下，这时可以证明（详见文献[2]）

存在分岔函数g:(x, μ)=xr(x2, μ)，并且在原点附近的每一个解都一一对应到系统（1）的小振幅周期解。这里，g 可由Lyapunov－Schmidt约化得到。

若再假设横截性条件：

（H3） σ≠0

成立。其中，dσ/dλ≠0，那么系统周期解 r 满足

(H4) r(c0+c2r2+c4r4+…)=0

其中，c是关于的函数。

另由隐函数定理，可知（H4）有唯一解。若又有：

（H5） c2≠0（dr/dx≠0）

使极限环的存在唯一性得到保证，那么：

（H4）式即定义了一条渐近抛物线，且满足对任意同号 λ 存在唯一 r>0，并且不存在 r 使 λ 异号。

该条曲线即为经典Hopf分岔的图像。

现在我们给出Hopf分岔的定义：

定义1 若系统（1）满足条件（H1）（H2）（H3）（H5），即称该系统将发生Hopf分岔。

这里，参数不会引起系统相图拓扑发生质的改变，但是若系统不满足条件（4）和（6）任意其中之一，则将对系统产生重要影响。

定义2 若系统（1）对条件（H3）(H5)至少有一个不满足，则称其为退化Hopf分岔的情形。

下面就对退化的Hopf分岔作一些简要的讨论。

情形2 若（H5）成立，而（H3）不成立