内容

证法1

证法2

内容

全称为Erdos－Mordell（埃尔多斯—莫德尔）不等式，简称E-M不等式。

设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则

x+y+z≥2*(p+q+r)

证法1

因为P,E,A,F四点共圆，PA为直径，则有:EF=PA*sinA。

在ΔPEF中，据余弦定理得:

EF^2=q^2+r^2-2*q*r*cos(π-A)=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C)

=(q*sinC+r*sinB)^2-(q*cosC-r*cosB)^2≥(q*sinC+r*sinB)^2，

所以有 PA*sinA≥q*sinC+r*sinB，即

PA=x≥q*(simC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1)。

同理可得:

PB=y≥r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2)，

PC=z≥p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3)。

(1)+(2)+(3)得:

x+y+z≥p*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(simC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)≥2*(p+q+r)。命题成立。

证法2

设∠BP=2α，∠CPA=2β,∠APB=2γ，令它们内角平分线分别为:t1,t2,t3。则只需证明更强的不等式

x+y+z≥2*(t1+t2+t3)。

事实上，注意到内角平分线公式有:

t1=(2*y*z*cosα)/(y+z)≤(√y*z)*cosα，

同理可得: t2≤(√z*x)*cosβ,t3≤(√x*y)*cosγ。

由于α+β+γ=π，所以由嵌入不等式可得:

2*(t1+t2+t3)≤2*(√y*z)*cosα+2*(√z*x)*cosβ+2*(√x*y)*cosγ≤x+y+z。证毕。