Dini定理　既可以指用来表示函数序列收敛的dini定理，也可以是含参变量的反常积分收敛的dini定理Dim

.表示函数序列收敛的Dini定理　：设 [a,b] R是一有界闭区间 , n∈N,fn∶ [a,b]→R是一连续函数且满足下述条件 :1 )函数序列 { fn}是单调的 ,即 n∈ N ,fn≤ fn+ 1或 n∈ N ,fn≥ fn+ 1

.2 )函数序列 { fn}在 [a,b]上逐点收敛于一连续函数 f :[a,b]→ R ,

那么函数序列 { fn}在 [a,b]上一致收敛于函数.

证明：

现采用反证法： 假设{Fn(x)}在[a,b]上不一致收敛于f(x)。将区间[a,b]二等分，则在其中一个小区间上，{Fn(x)}不一致收敛于f(x)。因此得到递缩区间套。挤出唯一点，设为t。任何含有t的足够小的闭区间，函数列{Fn(x)}都不会一致收敛于f(x)。然而我们下面将证明并非如此。现在考察t点。由于在t点，函数列{Fn(t)}收敛到f(t)，故从足够大的项N以后，Fn(t)就不超过f(t)的正负c偏差，c是任给的正数。[FN(t)-f(t)]之绝对值<c现在N是跟随c给定的。考察FN(x)-f(x)这个函数。我们知道FN(x)-f(x)在t点连续，因而对于t点为中心的某个邻域Q(如果t是端点，则Q是某个半邻域)，在这个邻域内，[FN(x)-f(x)]之绝对值仍<c。然而，对于[a,b]上每一点x,因为{Fn(x)}收敛到f(x)，并且{Fn(x)}对每个x都是单调的，那么f(x)必然是Fn(x)的确界，是上确界还是下确界，要看在x点{Fn(x)}是递增还是递减。但不管Sup还是Inf，总之只要{Fn(x)}的某一项和f(x)的偏差不超过正负c，则后面的项和f(x)的偏差也不超过正负c。于是，在邻域Q内，[FN(x)-f(x)]之绝对值<c将推出，所有n>N，[Fn(x)-f(x)]之绝对值<c。这样，我们就得到了，在t点，有这样一个开区域Q，在这个区域里，任何的正数c，存在一个N，只要n>N，就有[Fn(x)-f(x)]之绝对值<c，换句话说，{Fn(x)}在Q内一致收敛到f(x)。而任何含有t的足够小的闭区间将会是Q的真子集，这样的闭区间{Fn(x)}又不一致收敛到f(x)。得到矛盾。从而定理得以证明。

表示含参变量的反常积分收敛的Dini定理：设f(x,y)在[a,+∞]×[c,d]上连续且保持定号，

如果含参变量积分:在[c,d],上连续，那么含参变量积分I(y)关于y在[c,d]上一致收敛。号