定义1：对于某非空集合S ,若存在S上的二元运算"*"使得对于任意的a,b∈S,有a*b∈S（运算封闭），则称{S, *}为广群。
定义2：若{S, *}为广群，且*在S上满足结合律，则称{S, *}为半群。
定理1：设{S, *}是一个半群，B包含于S且*在B上封闭，则{B, *}也是一个半群，通常称为{S, *}的子半群。
定理2：若{S, *}为半群，且S是有限集，则必有元a∈S, 使a*a=a。
定理说明有限半群必有幂等元。
定义3：含有么元的半群称为幺半群。有时幺半群也记{S, *,e}。
定理3：设{S, *}为幺半群，则关于*的运算表中任何两行或两列都不同。
定理4：{S, *}为幺半群，若对任a, b∈S，有逆元aˉ1, bˉ1, 则
1）(aˉ1)ˉ1 = a
2）a*b有逆且(a*b)ˉ1 = bˉ1 * aˉ1。
（Z，+），（Z，×），
（N，×），（N，+），
（Q，+），（R，×），
（Zn，+），（Zn，×）
（P(S),∪），（P(S), ∩），
（Mn，+），（Mn，×），
（F[x], +）, (F[x], ×)，
S上全体映射，对于复合，
（L，∧），（L，∨），L是格
（A*, ）,
A* 是A中字符组成的字符串，
是连接运算，