在抽象代数此一数学分支中，幺半群是指一个带有可结合二元运算和单位元的代数结构。幺半群在许多的数学分支中都会出现。在几何学中，幺半群捉取了函数复合的概念。

定义(综述 生成元和子幺半群 可交换幺半群 部分可交换幺半群)

性质

幺半群同余和商幺半群

幺半群同态

举例

作用和算子幺半群

和范畴论的关系

定义

综述

幺半群是一个带有二元运算*:M×M→M的集合M，其符合下列公理：结合律：对任何在M内的a、b、c，(a*b)*c=a*(b*c)。

单位元：存在一在M内的元素e，使得任一于M内的a都会符合a*e=e*a=a。

通常也会多加上另一个公理：

封闭性：对任何在M内的a、b，a*b也会在M内。

但这不是必要的，因为在二元运算中即内含了此一公理。

另外，幺半群也可以说是带有单位元的半群。

幺半群除了没有逆元素之外，满足其他所有群的公理。因此，一个带有逆元素的幺半群和群是一样的。

生成元和子幺半群

幺半群 M 的 子幺半群是指一个在 M 内包含着单位元且具封闭性（即若x,y∈N ，则 x*y∈N ）的子集 N。很明显地， N 自身会是个幺半群，在导自 M 的二元运算之下。等价地说，子幺半群是一个子集 N ，其中 N=N ，且上标 * 为克莱尼星号。对任一于 M 内的子集 N 而言，子幺半群 N 会是包含着 N 的最小幺半群。

子集 N 被称之为 M 的生成元，当且仅当 M=N。若 N 是有限的， M 即被称为是有限生成的。

可交换幺半群

运算为可交换的幺半群称之为可交换幺半群（或较少地，称之为阿贝尔幺半群）。可交换幺半群经常会将运算写成加号。每个可交换幺半群都自然会有一个它自身的代数预序 ≤ ，定义为下： x ≤ y 当且仅当存在 z 使得 x+z=y 。可交换幺半群 M 的序单位是一个在 M 内的元素 u ，其中对任一在 M 内的元素 x 而言，总会存在一个正整数 n 使得 x ≤ nu。这经常用在 M 是偏序阿贝尔群 G 的正锥体的情况，在这种情况下我们称 u 是 G 的序-单位。有接受任何交换幺半群，并把它变成全资格阿贝尔群的代数构造；这个构造叫做格罗滕迪克群。

部分可交换幺半群

运算只对某些元素而不是所有元素是交换性的的幺半群是迹幺半群；迹幺半群通常出现在并发计算理论中。

性质

在一幺半群内，可以定义一元素x的正整数幂：x=x 及 x=x*...*x (乘上n次)，其中n>1。幂的规则x=x*x则是很明显的。

由定义可以证明其单位元e是唯一的。然后，对任一x，可以设x为e，则其幂的规则在非负幂中依然会是成立的。

逆元素：一元素x称为可逆，若存在一元素y，使得x*y = e且y*x = e。此一元素y便称做x的逆元素。结合律使得其逆元素(若存在)是唯一的。

若 y是x的逆元素，则可以定义x的负幂，以x=y及 x=y*...*y (乘上n次)，其中n>1。如此幂的规则在所有整数就都成立了，这也是为什么x的逆元素通常会写做x。所有在幺半群M内的可逆元素，和其自身的运算可组成一个群。在这意思之下，每个幺半群都含有一个群。

但并不是每个幺半群都包含在一个群内的。例如，绝对可能有一个幺半群，其两个元素a和b会有a*b=a的关系，即使b不是单位元。如此的幺半群是不可能包含于一个群内的， 因为在群里，两边一同乘a的逆元素，就会得到b = e的结果，但这不是真的。一个幺半群(M,*)若具有消去性，即表示对任何在M内的a、b、c，a*b = a*c永远意指b = c且b*a = c*a也永远意指b = c。一具有消去性的可交换幺半群总是可以包含于一个群内。这是为什么整数(加法运算下的群)可以由自然数(具有消去性的加法运算下的可交换幺半群)建立。但一具有消去性的不可交换幺半群则一定不可能包含于一个群之中。

若一幺半群有消去性且是有限的，它会是一个群。

一可逆幺半群为一幺半群，其任一在M内的a，总存在一唯一在M内的a，使得a=aaa且a=aaa。

一幺半群G的子幺半群是G的子集H，其包含有单位元，且若x、y属于H，则xy属于H。很清楚地，H本身也是个幺半群，在G的二元运算之下。

幺半群同余和商幺半群

幺半群同余是相容于幺半群乘积的等价关系。就是说它是子集

使得它是自反的、对称的和传递的(如同所有等价关系必须的那样)，还要有如果 且 对于所有 M 中的 x,y,u 和 v，则有 的性质。

幺半群同余引发同余类

而幺半群运算 * 引发在同余类上的二元运算 :

它是幺半群同态。它明显的也是结合的，所以所有同余类的集合也是幺半群。这个幺半群叫做商幺半群，可以写为

一些额外的符号是公用的。给定子集 ，写

对于引发自 L 的同余类的集合。在这个表示法中，明显的 。但是一般的说， 不是幺半群。走相反的方向，如果 是商幺半群的子集，写

当然这只是 X 的成员的并集。一般的说， 不是幺半群。

明显的有 且 。

幺半群同态

两个幺半群(M, *)和(M′, @)之间的同态是一个函数f : M → M′，会有如下两个性质：

f(x*y) = f(x)@f(y) 对所有在M内的x和y f(e) = e′ 其中e和e′分别是M和M′的单位元。

不是每一个群胚同态都会是个幺半群同态，因为它不一定会维持单位元。和上述不同，群同态的情况则会成立：群论的公理确保每一两群之间的群胚同态都会维持住单位元。对于幺半群，这不是永远成立的，而必须有另外的要求。

双射幺半群同态称做幺半群同构。

举例

每一个单元素集合{x}都可给出一个单元素(当然)幺半群。对定固的x，其幺半群是唯一的，当其幺半群公理在此例子必须满足x*x=x时。

每一个群都是幺半群，且每一个阿贝尔群都是可交换幺半群。

每一半格都是等幂可交换幺半群。

任一个半群S都可以变成幺半群，简单地加上一不在S内的元素e，并定义ee=e和对任一在S内的s，es=s=se。

自然数N是加法及乘法上的可交换幺半群。

以加法或乘法为运算，任何单作环的元素

以加法或乘法为运算的整数、有理数、实数及复数

以矩阵加法或矩阵乘法为运算，所有于一环内n×n矩阵所组成的集合

某些固定字母Σ的有限字符串所组成的集合，会是个以字符串串接为运算的幺半群。空字符串当成单位元。这个幺半群标记为Σ*，并称为在Σ内的自由幺半群。

给定一幺半群M，并考虑包含其所有子集的幂集P(M)。这些子集的二元运算可以定义成S*T={s*t:s在S内且t在T内}。这使得P(M)变成了具有单位元{e}的幺半群。依同样的方法，一个群的幂集是一在群子集的乘积下的幺半群。

设S为一集合。由所有函数S→S所组成的集合会是在复合函数下的幺半群。其单位元为恒等函数。若S为有限的且有n个元素，其幺半群也会是有限的，且有nn个元素。

广义化上述的例子，设C为一范畴且X为C内的一对象。由X所有自同态组成的集合，标记为EndC(X)，是一在态射复合下的幺半群。更多有关范畴论和幺半群的关系请见下述。

在连通和下的闭流形同态类所组成的集合，其单位元为一般二维球面类。此外，当a标记为环面类且b标记为射影平面类，此一幺半群的每一个元素c都会有一唯一的表示式c=na+mb，其中n是大于等于零的整数，m为0、1或2，且会有3b=a+b。

设<f>是一个数为n的循环幺半群，亦即<f>={f0,f1,..,fn−1}。然后，fn=fk，其中。事实上，不同的k会给出不同的幺半群，且每个幺半群都会和另一个同构。

此外，f也可以想成在点0,1,2,..,n−1上的函数，给定如下

或等价地表示成

<f>元素间的乘法即由复合函数给定。

注意当k=0时，函数f是{0,1,2,..,n−1}的置换，并给出个数为n的唯一循环群。

作用和算子幺半群

主条目：幺半群作用

算子幺半群是一作用在集合X上的幺半群M。亦即，存在一运算$:M×X→X符合幺半群的运算。

对任一在X内的x：e$x=x。

对任何在M内的a、b及在X内的x：a$(b$x)=(a*b)$x。)=(a*b)·x.

运算子幺半群也叫做作用(因为它们类似于群作用),转移系统,半自动机或变换半群。

和范畴论的关系

类似群的结构

完全性结合律单位元除法

群是是是是

幺半群是是是否

半群是是否否

环群是否是是

拟群是否否是

原群是否否否

广群否是是是

范畴否是是否

幺半群可视之为一类特殊的范畴。幺半群运算满足的公理同于范畴中从一个对象到自身的态射。换言之：

幺半群实质上是只有单个对象的范畴。

精确地说，给定一个幺半群(M,*)，可构造一个只有单个对象的小范畴，使得其态射由M的元素给出，而其合成则由幺半群的运算*给出。

同理，幺半群之间的同态不外是这些范畴间的函子。就此意义来说，范畴论可视为是幺半群概念的延伸。许多关于幺半群的定义及定理皆可推广至小范畴。

幺半群一如其它代数结构，本身也形成一个范畴，记作Mon，其对象是幺半群而态射是幺半群的同态。

范畴论中也有幺半对象的概念，它抽象地定义了何谓一个范畴中的幺半群。