概述

积分形式的证明

概述

在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski inequality）表明Lp空间是一个赋范向量空间。设S是一个 度量空间，，那么，我们有：

如果，等号成立当且仅当，或者g = kf

闵可夫斯基不等式是Lp(S)中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

对所有实数 ，这里n是S的维数；改成复数同样成立，没有任何难处。

值得指出的是，如果，p < 1，则可以变为。

积分形式的证明

我们考虑的p次幂：

（用三角形不等式展开 | f(x) + g(x) | ）

（用 赫尔德不等式）

（利用p = qp − q，因为）

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到:

因为，我们最终得出：

这就是我们所要的结论。

对于序列的情况，证明是完全类似的。