馨折形

有形状的数

最早把自然数和几何图形联系在一起的,也是毕达哥拉斯.毕达哥拉斯把数描绘成沙滩上的小石子,又按小石子所能排列的形状,把自然数与正三角形,正方形,正五边形……等图形联系起来,将数分为三角数,正方形数,五角数……

毕达哥拉斯发现,当小石子的数目是1,3,6,10等数时,小石子都能摆成正三角形,他把这些数叫做三角形数;当小石子的数目是1,4,9,16等数时,小石子都能摆成正方形,他把这些数叫做正方形数;当小石子的数目是1,5,12,22等数时,小石子都能摆成正五边形,他把这些数叫做五边形数……

毕达哥拉斯还摆出了其他多边形数.有趣的是,他还进一步发现了各种"形数"之间的内在联系.比如,每个大于1的正方形数都可以表示成两个相邻的三角形数的和.

4=1+3, 9=3+6, 16=6+10,……

反过来,任意两个相邻的三角形数相加,必然是一个正方形数,也就是平方数.

这从下面的图形中可以得到证实.

毕达哥拉斯借助生动的几何直观还发现,第n个三角形数等于1+2+…人们就可以写出很多很多的形数了.

不过,毕达哥拉斯并不因此而满足.譬如三角形数,需要一个数一个数地相加,才能算出一个新的三角形数.毕达哥拉斯认为这太麻烦了,于是着手去寻找一种简捷的计算方法.经过深入探索自然数的内在规律,他又发现,

这是一个重要的数学公式,有了它,计算连续自然数的和可就方便多了.

毕达哥拉斯还摆成一种"馨折形"的数.他先在正方形格子里放上石子,放的方法是最上面一行和最左边一列都按1,2,3,……来放石子.其他空格中的石子数,等于对应的最上面一行和最左边一列两格石子数的积.然后把正方形格分割成若干个拐角形,这种拐角形就叫"馨折形".

他发现,每一个馨折形中所有数的和一定是一个立方数:

1=1³,

2+4+2=8=2³,

3+6+9+6+3=27=3³.

公元前6世纪,还没有纸.用小石子来研究数的性质,又方便又直观,这真是古希腊人的一种创造!也是认识数的一种有趣方法.英语中的"计算"(calculation)一词来源于拉丁字"calculus",是小石子的意思.