“最小公倍数”的意思、由来-中文百科全书

专题简析

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b],自然数a、b的最大公因数可以记作(a、b)，当(a、b)=1时,[a、b]= a×b。

两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：

最小公倍数=两数的乘积/最大公约（因）数

即(a、b)×[a、b]= a×b

要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约（因）数问题混淆。

例题1

两个数的最大公因数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少？

分析根据“两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积（这里应该写错了吧？90/15=6,根据下面的解答应该是这个意思：没有错,a/15 * b/15 = 90/15=6,又15=(a、b) SO a1= a/15与b1=b/15互素）”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数。根据题意：

当a1b1分别是1和6时,a、b分别为15×1=15,15×6=90；当a1b1分别是2和3时,a、b分别为15×2=30,15×3=45。所以，这两个数是15和90或者30和45。

练习一

1,两个数的最大公因数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少？

2,两个数的最大公因数是12,最小公倍数是60,求这两个数的和是多少？

3,两个数的最大公因数是60,最小公倍数是720,其中一个数是180,另一个数是多少？

分析我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的积。根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公因数是360÷120=3。又因为（甲÷3=a,乙÷3=b)中,3×a×b=120,a和b一定是互质数，所以,a和b可以是1和40,也可以是5和8。当a和b是1和40时，所求的数是3×1=3和3×40=120；当a和b是5和8时，所求的数是3×5=15和3×8=24。

练习二

1,求36和24的最大公因数和最小公倍数的乘积。

2,已知两个数的积是3072,最大公因数是16,求这两个数。

3,已知两个数的最大公因数是13,最小公倍数是78,求这两个数的差。

例题3

甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？

分析从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。因为3、4、5的最小公倍数是60,所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。

练习三

1,1路、2路和5路车都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？

2,甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？

3,五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的同学每6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家？

例题4

一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？

分析把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。

练习四

1,用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？

2,有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？

3,一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的正方体小块，不许有剩余，这些小正方体的棱长最多是多少分米？

例题5

甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？

分析甲跑一圈需要600÷3=200秒，乙跑一圈需要600÷4=150秒，丙跑一圈需要600÷2=300秒。要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。200、150和300的最小公倍数是600,所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。

练习五

1,有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向而行,1分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇。已知甲比乙快，求二人的速度。

2,一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米。至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？

3,甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米。若三人同时从一端出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？

应用实例：

分元宝：

亡故的先父留下遗嘱，

共有遗产17个元宝，

老大得元宝的二分之一、 17/2=8.5

老二得元宝的三分之一、 17/3=5.66666

老三得元宝的九分之一、 17/9=1.8

问他们每一个人分别应该分几个元宝？

***************** 我是分割线 ****************

在《一代大商孟洛川》中是这样做的

@ 孟洛川拿来一个元宝加上去

好了，现在分元宝

答案是：老大9个元宝、老二6个元宝、老三2个元宝。

@ 还剩下一个元宝，是我们孟洛川的，拿回来

***************** 我是分割线 ****************

很不可思议吧

很简单的初中数学题老大分1/2,老二分1/3,老三分1/9

这三个数的最小公倍数就是18,即9/18+6/18+2/18=17/18,就是说他们老爷子给的这个比例和根本就没到1,。即1-17/18=1/18,也就是说，直接分，那是分不完17元宝的。这样这要用18这个最小公倍数就能分开，最后还剩一个

数学真的很神奇，无所不在

计算机程序实现

PASCAL语言实现：

1、var a,b,ans:longint;

function gcd(a,b:longint):longint;

begin

if b=0 then gcd:=a

else gcd:=gcd(b,a mod b ) ;

end;

2、var a,b,ans:longint;

function gcd(a,b:longint):longint;

begin

readln(a,b );

ans:=(a*b) div gcd(a,b);

write(ans);

end.

C语言实现：

#include <stdio.h>

int GCD(int a,int b);

int LCM(int a,int b);

int main()

{

int num1,num2,gcd,lcm;

printf("求两个数的最大公约数及最小公倍数 \\请输入你想计算的两个数：\");

scanf("%d%d",&num1,&num2);

gcd=GCD(num1,num2);

lcm=LCM(num1,num2);

printf("最大公约数为：%d \最小公倍数为：%d\",gcd,lcm);

}

int GCD(int a,int b)

{

if ( num1 % num2 == 0)

{

return num2；

}

else

{

return GCD ( num2,num1 % num2) ;

}

int LCM(int a,int b)

{

int temp_lcm;

temp_lcm=a*b/GCD(a,b); //最小公倍数等于两数之积除以最大公约数

return temp_lcm;

}

C++程序实现

#include <iostream>

using namespace std;

int GCD(int a,int b);

int LCM(int a,int b);

int main()

{

int num1,num2,gcd,lcm;

cout<<"求两个数的最大公约数及最小公倍数"<<endl<<endl;

cout<<"请输入两个数：";

cin>>num1>>num2;

gcd=GCD(num1,num2);

lcm=LCM(num1,num2);

//输出最大公约数和最小公倍数

cout<<"最大公约数为："<<gcd<<endl;

cout<<"最小公倍数为："<<lcm<<endl;

system("pause");

return 0;

}