最大素数，即目前发现的数值最大的素数。人类发现的最大的素数是 2^43112609-1，这是第 46个 梅森(Mersenne)素数。

已发现的“最大素数”(第19~41个梅森素数 程序)

有没有最大素数

“最大素数”的故事

结论

已发现的“最大素数”

素数也叫质数，是只能被自己和 1 整除的数，例如2、3、5、7、11等。2500 年前，希腊数学家欧几里德证明了素数是无限的，并提出少量素数可写成“2 的n次方减 1”的形式，这里 n 也是一个素数。此后许多数学家曾对这种素数进行研究，17 世纪的法国教士马丁·梅森(Martin Mersenne)是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2的n次方减1”形式的素数称为梅森素数。

第19~41个梅森素数

序号 素数 位数 发现人 时间

41 2^24036583-1 7235733 John Findley 2004

40 2^20996011-1 6320430 Michael Shafer 2003

39 2^13466917-1 4053946 Michael Cameron 2001

38 2^6972593-1 2098960 Nayan, Woltman, Kurowski 1999

37 2^3021377-1 909526 Clarkson, Woltman, Kurowski 1998

36 2^2976221-1 895932 Spence, Woltman 1997

35 2^1398269-1 420921 Armengaud, Woltman 1996

34 2^1257787-1 378632 Slowinski & Gage 1996

33 2^859433-1 258716 Slowinski & Gage 1994

32 2^756839-1 227832 Slowinski & Gage 1992

31 2^216091-1 65050 David Slowinski 1985

30 2^132049-1 39751 David Slowinski 1983

29 2^110503-1 33265 Welsh & Colquitt 1988

28 2^86243-1 25962 David Slowinski 1982

27 2^44497-1 13395 Slowinski & Nelson 1979

26 2^23209-1 6987 L. Curt Noll 1979

25 2^21701-1 6533 Nickel & Noll 1978

24 2^19937-1 6002 Bryant Tuckerman 1971

23 2^11213-1 3376 Donald B. Gillies 1963

22 2^9941-1 2993 Donald B. Gillies 1963

21 2^9689-1 2917 Donald B. Gillies 1963

20 2^4423-1 1332 Alexander Hurwitz 1961

19 2^4253-1 1281 Alexander Hurwitz 1961

程序

1995 年，美国程序设计师乔治·沃特曼整理有关梅森素数的资料，编制了一个梅森素数计算程序，并将其放置在因特网上供数学爱好者使用，这就是“因特 网梅森素数大搜索”计划。目前有6万多名志愿者、超过20万台计算机参与这项计划。该计划采取分布式计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间，获得相当于 超级计算机的运算能力，第 37、38 和 39 个梅森素数都是用这种方法找到的。美国一家基金会还专门设立了 10 万美元的奖金，鼓励第一个找到超过千万位素数的人。

有没有最大素数

不存在最大质数!

上小学的时候，我们就知道所有的自然数可以分为质数（素数）和合数两类，当然还特别规定了“1既不是质数，也不是合数”。100以内的质数，从小到大依次是：2、3、5、7、11、13、17、19、……、83、89、97。不用说了，你一定会背下来。那么质数的个数是不是有限多的呢？

在解决这个问题之前，我们先来看看另一个问题：怎样判断一个已知自然数是不是质数。比如，143是不是质数？

你一定会按照下面这个步骤去判断： 先用最小的质数2去除143，不能整除；再用3去试试，还是不行；再依次用5、7试试，还是不行；11呢？行！143＝11×13，所以143不是质数，而是合数。所以，判断一个数是不是质数，只需用比这个数小的所有质数，依次去除它即可，如果都不能整除的话，这个数就一定是质数；相反，只要这个数能够被某一个质数整除，这个数就一定是合数。这种方法所依据的原理是：每一个合数都可以表示成若干个质数的乘积。不用说，这叫做“分解质因数”，也是小学数学的知识。

我们先假设质数的个数是有限多的，那么必然存在一个“最大的质数”，设这个“最大的质数”为N。下面我们找出从1到N之间的所有质数，把它们连乘起来，就是：

2×3×5×7×11×13×……×N

把这个连乘积再加上1，得到一个相当大的数M：

M＝2×3×5×7×11×13×……×N＋1

那么这个M是质数还是合数呢？ 乍一想，不难判断，既然N是最大的质数，而且M＞N，那么M就应该是合数。既然M是合数，就可以对M分解质因数。可是试一下就会发现，我们用从1到N之间的任何一个质数去除M，总是余1！这个现实，又表明M一定是质数。

这个自相矛盾的结果，无非说明： 最大的质数是不存在的！如果有一个足够大的质数N，一定可以像上面那样，找到一个比N更大的质数M。既然不存在最大的质数，就可以推知自然数中的质数应该有无限多个。

“最大素数”的故事

素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数。按照规定，1不算素数，最小的素数是2，其后依次是3、5、7、11等等。 早在2500年前，希腊数学家欧几里德就证明了素数是无限的，并提出少量素数可写成“2的n次方减1(2n－1)”的形式，这里n也是一个素数。但是目前人类已知的素数很有限，因为数字越大，要发现新的素数就越困难。不过，很多数学家曾对素数问题进行过研究，17世纪的法国教士马丁·梅森就是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2的n次方减1(2n－1)”形式的素数称为梅森素数。1876年，数学家卢卡斯证明了2127－1是当时已知的最大素数。这个记录保持了75年，这是一个39位的数。

结论

直到1951年，借助于新出现的电子计算机，人们才发现有79位数字的更大素数。1952年时，最大素数是22281－1，有687位数。位数在1000位以上的素数到1961年才被发现，它是24423－1，共有1332位数。从1951年到1971年的20年间，最大素数的纪录被不断刷新。1971年，美国数学家塔克曼在纽约州的纽克顿利用国际商业机器公司的IBM360/91型电子计算机，历时39分26.4秒，算出了当时的最大素数219937－1，这是一个6002位的数字，它最前面的五位数是43154，最后面的三位数是471。