问题描述

应用

算法

代码（Pascal）

代码（C++）

Java 代码

问题描述

最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

应用

最长公共子序列是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。对一段文字进行修改之后，计算改动前后文字的最长公共子序列，将除此子序列外的部分提取出来，这种方法判断修改的部分，往往十分准确。简而言之，百度知道、百度百科都用得上。

算法

动态规划的一个计算两个序列的最长公共子序列的方法如下：

以两个序列 X、Y 为例子：

设有二维数组 f[i,j] 表示 X 的 i 位和 Y 的 j 位之前的最长公共子序列的长度，则有：

f[1][1] = same(1,1);

f[i,j] = max{f[i-1][j -1] + same(i,j),f[i-1,j],f[i,j-1]}

其中，same(a,b)当 X 的第 a 位与 Y 的第 b 位完全相同时为“1”，否则为“0”。

此时，f[j]中最大的数便是 X 和 Y 的最长公共子序列的长度，依据该数组回溯，便可找出最长公共子序列。

该算法的空间、时间复杂度均为O(n^2)，经过优化后，空间复杂度可为O(n)。

代码（Pascal）

const

maxlen=200;

var

i,j :longint;

c :array[0..maxlen,0..maxlen] of byte;

x,y,z :string; {z为x,y的最长公共子序列}

begin

readln(x);

readln(y);

fillchar(c,sizeof(c),0);

for i:=1 to length(x) do

for j:=1 to length(y) do

if x[i]=y[j]

then c[i,j]:=c[i-1,j-1]+1

else if c[i-1,j]>c[i,j-1]

then c[i,j]:=c[i-1,j]

else c[i,j]:=c[i,j-1];

z:='';

i:=length(x);

j:=length(y);

writeln(c[i,j]);

while (i>0) and (j>0) do

if x[i]=y[j]

then begin z:=x[i]+z;i:=i-1;j:=j-1 end

else if c[i-1,j]>c[i,j-1]

then i:=i-1

else j:=j-1;

if z<>'' then writeln(z);

for i:=1 to length(x) do

begin

for j:=1 to length(y) do write(c[i][j]:3);

writeln;

end;

readln;

end.

代码（C++）

#include <cstdlib>

#include <iostream>

using namespace std;

#define N 105

int dp[N+1][N+1] ;

char str1[N] , str2[N];

int maxx(int a , int b)

{

if(a > b)

return a ;

return b ;

}

int LCSL(int len1 , int len2)

{

int i , j ;

int len = maxx(len1 , len2);

for( i = 0 ; i <= len; i++ )

{

dp[i][0] = 0 ;dp[0][i] = 0 ;

}

for( i = 1 ; i<= len1 ; i++)

for( j = 1 ; j <= len2 ; j++)

{

if(str1[i - 1] == str2[j - 1])

{

dp[i][j] = dp[i - 1][ j - 1] + 1 ;

}

else

{

dp[i][j] = maxx(dp[i - 1][ j ] , dp[i][j - 1]) ;

}

}

return dp[len1][len2];

}

int main()

{

while(cin >> str1 >> str2)

{

int len1 = strlen(str1) ;

int len2 = strlen(str2) ;

cout<<LCSL(len1 , len2)<<endl;

}

return 0;

}

Java 代码

public class LCSProblem

{

public static void main(String[] args)

{

String[] x = {"", "A", "B", "C", "B", "D", "A", "B"};

String[] y = {"", "B", "D", "C", "A", "B", "A"};

int[][] b = getLength(x, y);

Display(b, x, x.length-1, y.length-1);

}

public static int[][] getLength(String[] x, String[] y)

{

int[][] b = new int[x.length][y.length];

int[][] c = new int[x.length][y.length];

for(int i=1; i<x.length; i++)

{

for(int j=1; j<y.length; j++)

{

if( x[i] == y[j])

{

c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;

b[i][j] = 1;

}

else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])

{

c[i][j] = c[i-1][j];

b[i][j] = 0;

}

else

{

c[i][j] = c[i][j-1];

b[i][j] = -1;

}

}

}

return b;

}

public static void Display(int[][] b, String[] x, int i, int j)

{

if(i == 0 || j == 0)

return;

if(b[i][j] == 1)

{

Display(b, x, i-1, j-1);

System.out.print(x[i] + " ");

}

else if(b[i][j] == 0)

{

Display(b, x, i-1, j);

}

else if(b[i][j] == -1)

{

Display(b, x, i, j-1);

}

}

}