| 词条 | 柏拉图多面体 |
| 释义 | 并不是由柏拉图所发明，但是却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体，但是，在这里，我们仍以柏拉图多面体称之，以免与其它有规则的多面体产生混淆。柏拉图多面体所有的面都是不自交、以直线段为边长的正凸多边形平面，每一种多面体都只有一种正多边形的表面，而且在每一个顶点处都有相同数目的面交会。不仅在每一个顶点处都有相同数目的面交会，而且在每一个顶点处所有交会的面的内角之总和会相等。 简介熟悉柏拉图多面体的最佳方法莫过于经由构造模型并透过模型研究它们。下图表示一种称之为”展开图”的个别柏拉图多面体平面排列图示。为了构造柏拉图多面体的模型，一组类似的展开图必须被描绘在适当的材料上。同学可以将本资料所附之多面体的展开图直接剪下或经放大、缩小影印在合适的漂亮纸张上。如果材料不方便影印，您也可以依样绘制或把影印展开图并贴在所用材料上。Albrecht Durei早在1525年，于他所著的《Unterweisung der Messung Mit dem Zirkel und Richtsheit》一书中，给出了几个多面体的展开图。 为什么只有五个柏拉图多面体很容易看出柏拉图多面体每一个都是凸的，并且在每一个顶点处交会着相同数目、相似、正的凸多边形。要理解为什么只有五个柏拉图多面体是相当简单的，这是因为在每一个顶点处交会着至少三个面才能构造出一个立体图形，而且围绕每一个顶点的面的角度和不能等于或超过360°，否则所得的面将是平的或是凹的。 具有最少边数的正多边形是正三角形，三个如此的多边形可以使它们交会在一个顶点上，接下来，加入第四个面，如此，每三个面就会交会在图形的四个顶点处之一。由于这个图形有四个全等的面，故称之为正四面体(TETRAHEDRON)。 四个正三角形可以使它们交会在一个顶点上，而且加入四个面之后，在图形的六个顶点处都会有四个面交会在这里。由于这个图形有八个面，故称之为正八面体(OCTAHEDRON)。 另外，我们可以构造出五个正三角形可以交会在它的12个顶点处的图形。由于这样的图形有20个面。故称之为正二十面体。 假如六个正三角形交会在一顶点处，那么交会在这顶点的面的角之总和为360°，于是这些三角形将构成一平面或是凹面。所以表面是正三角形的柏拉图多面体只能有三种。 接下来要考虑的多边形是正方形，我们可以构造成三个正方形交会在它的八个顶点处的多面体，它是另一种柏拉图多面体，一般称之为正方立体（CUBE），由于它有六个面，故亦称之为正六面体（HEXAHEDRON）。 一个凸多面体不能由每个顶点处都有四个正方形交会，这是由于交会在每个顶点处的面的角之总和将会是360° 接下来考虑的是有五个等边及五个内角均是108°的正五边形。一个多面体可以由三个交会在它的20个顶点处的正五边形所构成所得的图形称之为正十二面体（DODECAHEDRON），这是由于它有12个面的缘故。通常我们也将其称之为正五角十二面体。 四个五边形将不能交会在一顶点而构成一凸多面体，这是由于这些交会在一顶点的面的角之总和将超过360° 接下来考虑的是正六边形，但是假如三个正六边形交会在一顶点处那么这些面的角之总和将是360°，于是构成一平面。从这里也可以看出多边形的面数愈多，它们的内角就愈大，多于六边的正多边形其三个内角之总和将超过360°，于是，无法将它们连接在一起而构成一正的凸多面体。 只有五种正多面体的证明假设一个正多面体共有 V 个顶点、F 块面及 E 条边；每一块面均为正 n 边形，且每一个顶点共有 m 块面的顶点相连。 由于共有 F 块面，且每块面均为正 n 边形，所以将该正多面体拆开为 F 个正 n 边形后，应有 nF 条边； 由于一个顶点与其他 m 个顶点相连，所以将该正多面体拆开为 F 个正 n 边形后，应有 mV 个顶点，因多边形顶点数目和边的数目相等，即共有 mV 条边； 同样地，当多个正 n 边形合成为一个正多面体时，两个正 n 边形的各一条边便会合并成正多面体的一条边，所以将该正多面体拆开后，应有 2E 条边； 因此，可得 nF = mV = 2E 利用欧拉公式 V + F - E = 2 代入 V 及 F 得 重整后得 因 E 须为正整数 (m - 2)(n - 2) < 4 因着基本立体几何及平面几何，m > 2 及 n > 2，所以 (m, n) 只可能为 (3, 3)、(3, 4)、(4, 3)、(3, 5) 及 (5, 3)；即 (V, F, E) 只可能为 (4, 4, 6)、(8, 6, 12)、(6, 8, 12)、(20, 12, 30) 及 (12, 20, 30)。 柏拉图多面体与宇宙万物的关系火====四面体 水====二十面体 土====六面体 空气====八面体 宇宙====十二面体 |
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