定理简介

证明

另一个结论

定理简介

中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。

定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

即，对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：

AB^2+AC^2=2BI^2+2AI^2

或作AB^2+AC^2=1/2BC^2+2AI^2

证明

除图示给出的方法外，c1c2clone在此给出另外的两种常规证明方法：

第一种是以中点为原点，在水平和竖直方向建立坐标系，

设：A(m,n),B(-a,0),C(a,0)，

则：(AD)^2+(CD)^2=m^2+n^2+a^2

(AB)^2+(AC)^2=(m+a)^2+n^2+(m-a)^2+n^2=2(m^2+a^2+n^2)

∴(AB)^2+(AC)^2=2((AD)^2+(CD)^2)

第二种是在不同三角形中，对同一个角用两次余弦定理，比如对图示中的∠B（或者∠C）在△ABD和△ABC（或者△ACD和△ABC）使用余弦定理，从而直接得到三角形边长的关系，进而得证。

另一个结论

在以上讨论中，通过两式相减，还可以得到 |AB^2-AC^2|=2BC×IH。