1.中位线概念

2.中位线定理

证明

三角形中位线定理的逆定理

性质

证明

3.扩展

1.中位线概念

(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：

(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。

(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。

(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。

2.中位线定理

(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

如图，三角形两边中点的连线（中位线）平行于第BC边，且等于第三边的一半。

三角形的中位线所构成的小三角形面积是原三角形面积的四分之一。

证明

如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

求证DE平行且等于BC/2

法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。

∵CF∥AD

∴∠A=∠ACF

∵AE=CE、∠AED=∠CEF

∴△ADE≌△CFE

∴AD=CF

∵D为AB中点

∴AD=BD

∴BD=CF

∴BCFD是平行四边形

∴DF∥BC且DF=BC

∴DE=BC/2

∴三角形的中位线定理成立.

法二：利用相似证

∵D，E分别是AB，AC两边中点

∴AD=AB/2 AE=AC/2

∴AD/AE=AB/AC

又∵∠A=∠A

∴△ADE≌△ABC

∴DE/BC=AD/AB=1/2

∴∠ADE=∠ABC

∴DF∥BC且DE=BC/2

法三：坐标法：

设三角形三点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)

则一条边长为 :根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2

另两边中点为((x1+x3)/2，(y1+y3)/2)，和((x2+x3)/2，(y2+y3)/2)

这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2

最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半

三角形中位线定理的逆定理

逆定理一：

如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。

逆定理二：

如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

【证法①】

取AC中点G ，联结DG

则DG是三角形ABC的中位线

∴DG∥BC

又∵DE∥BC

∴DG和DE重合（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线重合）

(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用。

性质

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 .梯形

中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L.

L=（a+b）÷2

已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积．

S梯=Lh

中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。

证明

四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分别是AB、CD边上的中点，求证：EF∥AD，且EF=（AD+BC）/2

证明：

连接AF并延长交BC的延长线于G。

∵AD∥BC

∴∠ADF=∠GCF

∵F是CD的中点

∴DF=FC

∵∠AFD与∠CFG是对顶角

∴∠AFD=∠CFG

∴△ADF≌△CGF(ASA)

∴AF=FG，AD=CG

∴F是AG的中点

∵E是AB的中点

∴EF是△ABG的中位线

∴EF∥BG,EF=BG/2=(BC+CG)/2

∴EF=(AD+BC)/2

∵AD∥BC

∴EF∥AD∥BC

3.扩展

三角形三条中位线所构成的三角形是原三角形的相似形。