质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。合数是由若干个质数相乘而得到的。所以，质数是合数的基础，没有质数就没有合数。这也说明了前面所提到的质数在数论中有着重要地位。历史上曾将1也包含在质数之内，但后来为了算术基本定理，最终1被数学家排除在质数之外，而从高等代数的角度来看，1是乘法单位元，也不能算在质数之内，并且，所有的合数都可由若干个质数相乘而得到。

质数公式(素数 / 正整数 个数的比值公式： 比较素数比值公式和以前的素数公式 以前（x^2）处的的素数 现在（Pn#）处的素数 两者的误差 素数生成公式 图表：)

性质(个数 费马数2^(2^n)+1 梅森质数)

相关(哥德巴赫猜想 哥德巴赫猜想的意义 黎曼猜想 孪生质数猜想)

质数公式

素数 / 正整数 个数的比值公式：

( n + (Pn-1)# -1) / Pn#

公式说明：

1、n 为n个素数连乘。

2、(Pn-1)# 为每个素数值都减1的阶乘、Pn#为n个素数值的阶乘。

3、例子：

( n+ (P1-1)(P2-1)（P3-1）....(Pn-1) -1 ) /P1P2....Pn

( n+y+(f(Px)) (P1-1)(P2-1)（P3-1）....(Pn-1) -1 ) /(Px^y)P1P2....Pn

( 5 + (2-1)(3-1)(5-1)(7-1)(11-1) -1) / 2*3*5*7*11

比较素数比值公式和以前的素数公式

以前（x^2）处的的素数

x^2 * (Pn-1)# /Pn# + n -1

现在（Pn#）处的素数

(Pn-1)# +n -1

两者的误差

要想两式

x^2 * (Pn-1)# /Pn# + n -1 == (Pn-1)# +n -1

恒等于，质数中x只有一个2的数没有误差:

x^2=Pn#

x=√ (Pn#)

证明正确的都是化简到了质数=2上面了，其他的都有误差，虽然通过化简都正确，但是质数分布是不对称的！我们不能把质数分布当作自然数方程去处理！所以后来用 （ x^2 * (Pn-1)# /Pn# + n -1）去求质数的值都出现了误差，特别是经过化简的公式更是如此。

素数生成公式

① P,!(PP,PPP…)

② Pn# * (1,2,…,(P(n+1)-1)/2) + (-P(Pn#/2),…,-P(n+1),-1,1,P(n+1),…,P(Pn#/2)),

!(P(n+1)+ * (P(n+1)+ ,P(n+1)+… )

公式说明：

Pn# 为n个素数值的阶乘。

(1,2,…,(P(n+1)-1)/2) 为遍历到等于（（下个素数值减1）除2的值）为止。

(-P(Pn#/2),…,-P(n+1),-1,1,P(n+1),…,P(Pn#/2)) 为遍历。

P(Pn#/2)为遍历到小于(阶乘Pn#值)除2值的一个素数。

P 为素数，!(PP,PPP…)、!(P(n+1)+ * (P(n+1)+ ,P(n+1)+… )皆为非素数。

P(n+1)+ 为下个或下个更大的素数。

(PP,PPP…)、!(P(n+1)+ * (P(n+1)+ ,P(n+1)+… )皆为遍历所以2个或2个以上素数的相乘。

(P(n+1)+ *(P(n+1)+,P(n+1)+…) 遍历乘积值不大于Pn# /2为止

图表：

　
　
　(1,2,…,(P(n+1)-1)/2)　
　
　
　

　
　
　1　2　3　4　5　6　7　8

　
　
　P=素数（prime number）　
　
　
　

Pn#　
　
　2　3　
　
　
　
　
　

6　
　
　
　
　
　
　
　
　
　

2*3　6_1　
　5　11　
　
　
　
　
　

　6+1　
　7　13　
　
　
　
　
　

30　
　
　
　
　
　
　
　
　
　

2*3*5　30-13　
　17　47　77 = !(P(n+1)+ *(P(n+1)+,P(n+1)+…)

　30-11　
　19　49　79　
　
　
　
　

　30-7　
　23　53　83　
　
　
　
　

　30-1　
　29　59　89　
　
　
　
　

　30+1　
　31　61　91　
　
　
　
　

　30+7　
　37　67　97　
　
　
　
　

　30+11　
　41　71　101　
　
　
　
　

　30+13　
　43　73　103　
　
　
　
　

210　
　
　
　
　
　
　
　
　
　

2*3*5*7　210-103　
　107　317　527　737　947　
　
　

　210-101　
　109　319　529　739　949　
　
　

　-97　
　113　323　533　743　953　
　
　

　89　
　121　331　541　751　961　
　
　

　83　
　127　337　547　757　967　
　
　

　79　
　131　341　551　761　971　
　
　

　73　
　137　347　557　767　977　
　
　

　71　
　139　349　559　769　979　
　
　

　67　
　143　353　563　773　983　
　
　

　61　
　149　359　569　779　989　
　
　

　59　
　151　361　571　781　991　
　
　

　53　
　157　367　577　787　997　
　
　

　47　
　163　373　583　793　1003　
　
　

　43　
　167　377　587　797　1007　
　
　

　41　
　169　379　589　799　1009　
　
　

　37　
　173　383　593　803　1013　
　
　

　31　
　179　389　599　809　1019　
　
　

　29　
　181　391　601　811　1021　
　
　

　23　
　187　397　607　817　1027　
　
　

　-19　
　191　401　611　821　1031　
　
　

　-17　
　193　403　613　823　1033　
　
　

　-13　
　197　407　617　827　1037　
　
　

　-11　
　199　409　619　829　1039　
　
　

　210-1　
　209　419　629　839　1049　
　
　

　210+1　
　211　421　631　841　1051　
　
　

　11　
　221　431　641　851　1061　
　
　

　13　
　223　433　643　853　1063　
　
　

　17　
　227　437　647　857　1067　
　
　

　19　
　229　439　649　859　1069　
　
　

　23　
　233　443　653　863　1073　
　
　

　29　
　239　449　659　869　1079　
　
　

　31　
　241　451　661　871　1081　
　
　

　37　
　247　457　667　877　1087　
　
　

　41　
　251　461　671　881　1091　
　
　

　43　
　253　463　673　883　1093　
　
　

　47　
　257　467　677　887　1097　
　
　

　53　
　263　473　683　893　1103　
　
　

　59　
　269　479　689　899　1109　
　
　

　61　
　271　481　691　901　1111　
　
　

　67　
　277　487　697　907　1117　
　
　

　71　
　281　491　701　911　1121　
　
　

　79　
　289　499　709　919　1129　
　
　

　83　
　293　503　713　923　1133　
　
　

　89　
　299　509　719　929　1139　
　
　

　97　
　307　517　727　937　1147　
　
　

　210+101　
　311　521　731　941　1151　
　
　

　210+103　
　313　523　733　943　1153　
　
　

2310　
　
　
　
　
　
　
　
　
　

(P11#)　…　
　
　
　
　
　
　
　
　

性质

个数

质数的个数是无穷的。最经典的证明由欧几里得证明在他的《几何原本》中就有记载。它使用了现在证明常用的方法：反证法。具体的证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1,p2,…,pn，设 x = (p1·p2·...·pn)+1，如果x是合数，那么它被从p1,p2,...,pn中的任何一个质数整除都会余1，那么能够整除x的质数一定是大于pn的质数，和pn是最大的质数前提矛盾，而如果说x是质数，因为x>pn，仍然和pn是最大的质数前提矛盾。因此说如果质数是有限个，那么一定可以证明存在另一个更大质数在原来假设的质数范围之外，所以说质数的个数无限。

费马数2^(2^n)+1

被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。这便是费马数。但是，就是在F5上出了问题！费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：

F5=4294967297=641×6700417，它并非质数，而是一个合数！

更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。

梅森质数

17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1 ，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2^p-1都是素数，但p=11时，所得2047=23×89却不是素数。

还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721×761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。

现在，数学家找到的最大的梅森质数是2^43112609－1。数学家虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。

相关

哥德巴赫猜想

在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。a) 任一不小于6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和；b) 任一不小于9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

哥德巴赫猜想的意义

数论是要弄清数的规律,搞通"猜想"就像背熟"小九九"一样,把一些要现算的数字关系使之成为一种定规记忆,那样就快的多,比如:25*25=625脱口而出.而计算机是从1+1+1+1,,,,,,,,算下去的,如果能将"小九九"这样的定式用于计算机,那就更快了.不过现在还没实现,"猜想"如果是正确的,它将成为一个定式,最终应用于快速计算手段.

今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。

从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：数学书

任一大于7的奇数都可写成三个质数之和

的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。

若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”，数学家认为弱哥德巴赫猜想已基本解决。

黎曼猜想

黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。

在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。　黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。　有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。

孪生质数猜想

1849年，波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。

猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生质数。

100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97