内容

推导

内容

mass-energy relation

质量与能量之间的当量关系。在经典物理学中，质量和能量是两个完全不同的概念，它们之间没有确定的当量关系，一定质量的物体可以具有不同的能量；能量概念也比较局限，力学中有动能、势能等。在狭义相对论中，能量概念有了推广，质量和能量有确定的当量关系，物体的质量为m，则相应的能量为 E=mc^2，相应于能量为E的物体质量为m=E/c^2 ；特别是静止的物体，静质量为m0，具有的能量为E0=m0c^2。质能关系是狭义相对论的最重要的结果。质能关系将物理学中原来不相干的质量守恒和能量守恒统一起来。在通常的反应中，系统释放出能量，系统内部的质量减小，减小的量是微乎其微的，与其静质量相比小得无法观测。但在核反应中，这一减小量则明显地表现出来。在裂变反应和聚变反应中，系统的静质量可观地改变，反应释放巨大能量。质能关系是核能释放的理论基础。

推导

在狭义相对论中，动能定理和动量定理是仍然成立的。考虑一个物体受到一个定向的力F的作用，由静止加速到速度u，把这个方向定为x方向，则物体获得的能量为

ΔE=∫Fdx=∫(dp/dt)dx=∫dp(dx/dt)=∫udp=∫ud(mu)

(注：积分上下限为从速度为0的状态积到速度为u的状态)

利用分部积分，得

∫ud(mu)=Δ(mu^2)-∫mudu

由质速关系

m=γm0[注：γ为洛伦兹因子，γ=(1-u^2/c^2)^(-1/2)]

以及物体最初速度为0，故

Δ(mu^2)=mu^2

于是

ΔE=mu^2-m0∫γudu

通过查阅积分表，可知

∫γudu=c^2(1-1/γ)

代入前一个式子，可得

ΔE=mu^2+m0c^2/γ-m0c^2=γm0u^2+m0c^2/γ-m0c^2=γm0c^2-m0c^2

=mc^2-m0c^2

也就是说，将一个物体从静止加速到速度u，物体得到了(mc^2-m0c^2)的能量。再加上物体原有的静能m0c^2，便得到了质能关系

E=mc^2