定义

性质(收敛级数 渐进（发散）级数 指数和对数的表现 与其它函数的关系 导数 复变量的指数积分)

在数学中，指数积分是函数的一种，它不能表示为初等函数。

定义

对任意实数，指数积分有下定义：Ei(x)=∫e^t/t dt (-∞~x)，这个积分必须用柯西主值来解释。

如果自变量是复数的情形，这个定义就变得模棱两可了 。为了避免歧义，我们使用以下的记法：

E1(x)=∫e^(-t)/t dt (z~+∞) (|Arg(z)|<π)

如果Re(z)>0，则

E1(z)=∫e^(-tz)/t dt (1~+∞) (Re(z)>0)

其中，

Ei(-x±i0)=-E1(x)减加iπ

-Ei(x)=(Ei(-x+i0)+E1(-x-i0))/2

性质

收敛级数

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其中γ是欧拉常数。

渐进（发散）级数

自变量的值较大时，用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下，我们可以使用发散（或渐近）级数：

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指数和对数的表现

E1在自变量较大时的表现类似指数函数，自变量较小时类似对数函数。

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这个不等式的左端在图中用红色曲线来表示，中间的黑色曲线是E1(x)，不等式的右端用蓝色曲线来表示。

与其它函数的关系

指数积分与对数积分li(x)的关系：

li(x) = Ei (ln (x)) x≠ 1

另外一个有密切关系的函数，具有不同的积分限：

E1(x)=∫e^(-tx)/t dt (1~+∞) =∫e^(-t)/t dt (x~+∞)

可以延伸到负数：

Ei(-x)=-E1(x)

我们可以把两个函数都用整函数来表示：

Ein(x)=∫(1-e^(-t))/t dt (0~x)=∑(-1)^(k-1)x^k/(k*k!) (1~∞)

此函数的性质：

E1(z)=-γ-ln(z)+Ein(z) (|Arg(z)|<π)

Ei(x)=γ+ln(x)-Ein(-x) (x>0)

指数积分还可以推广为：

En(x)=∫e^(-tx)/t^n dt (1~+∞)

导数

函数En与E1的导数有以下简单的关系：

En'(z)=-E(n-1)(z) (|Arg(z)|<π ,n>0)

然而，这里假设了n是整数；复数n的推广还没有在文献中报导，虽然这种推广是有可能的。

复变量的指数积分

从定义中可以看出，指数积分与三角积分之间的关系：

E1(ix)=-π/2+S1(x)-i*Ci(x)(x>0)

图中的黑色和红色曲线分别描述了E1(x)的实数和虚数部分。