定理概述

证明

意义

扩展(余弦定理 余弦定理的证明 三角形面积公式 正弦定理的变形公式)

定理概述

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径）

正弦定理(Sine theorem)　（1）已知三角形的两角与一边，解三角形

（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

证明

步骤1

在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.

连接DA.

因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度

因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠ACB.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

意义

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。也就是任意三角形的边角关系。

扩展

余弦定理

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

余弦定理性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足性质——

a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA

b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB

c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)

cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)

cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)

（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）

第一余弦定理（任意三角形射影定理）

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

余弦定理的证明

平面向量证法

∵如图，有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小） ∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

（以上粗体字符表示向量）

又∵Cos(π-θ)=-CosC

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|cosθ（注意：这里用到了三角函数的公式）

再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosC

即 cosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b

同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

三角形面积公式

1.海伦-秦九韶公式:

设P=(a+b+c)/2

S△ABC=√[P(P-a)(P-b)(P-c)]

解释：假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p为半周长：

p=(a+b+c)/2

2.S△ABC=(ab/2)·sinC=(bc/2)·sinA=(ac/2)·sinB=abc/(4R)[R为外接圆半径]

3.S△ABC=ah/2

正弦定理的变形公式

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;

(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;

（条件同上）

在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题

(3)相关结论：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)

c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径）

（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形

sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

（5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a