定义

判定条件

例子

同态基本定理

单群

定义

设G是一个群 ， 且有子群 H。 若H的左陪集与右陪集 总是相等， 则称H是G的正规子群。正规子群又称不变子群。

判定条件

H是G的正规子群有如下一些等价的判定条件：

（1） 对任何a∈G, aHa^{-1}总是含在H中；

（2） 对任何a∈G, aHa^{-1}=H；

（3） 对任何a∈G， aH=Ha;

(4) 对任何a∈G，b∈G，如果ab∈H,那么总有ba∈H;

(5) 商集G/H上有群运算： (aH)(bH)=(ab)H

例子

n次 交错群 A_n (即所有偶置换)是n元对称群S_n的正规子群；

特殊线性群 SL_n 是一般线性群GL_n的正规子群；

任何交换群的子群都是其正规子群；

一个群G总有两个平凡的正规子群H={e}和H=G.

G的中心必为正规子群。

同态基本定理

任何群同态σ：G→G' 的核Ker σ 都是G的正规子群。

（同态基本定理） 商群G/Ker σ≌Im σ.

利用群同态的核构造正规子群是一种常用方法。

单群

单群就是指不含非平凡正规子群的群。伽罗华(Galois)证明了交错群A_n（n≥5）是单群。这一结论和5次以上一元多项式方程是否有求根公式密切相关。