辗除法（zhǎnchú fǎ ）——辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法， 其可追溯至3000年前。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。

证明：

设两数为a、b(b<a)，求它们最大公约数(a、b)的步骤如下：用b除a，得a=bq......r 1(0≤r)。若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用r1除b，得b=r1q......r2 (0≤r2).若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零余数即为(a，b)。

[编辑] 算法

辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：

1. 若 r 是 a ÷ b 的余数, 则

gcd(a,b) = gcd(b,r)

2. a 和其倍数之最大公因子为 a。

另一种写法是：

1. a ÷ b，令r为所得余数（0≤r<b）

若 r = 0，算法结束；b 即为答案。

2. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。

[编辑] 虚拟码

这个算法可以用递归写成如下:

function gcd(a, b) {

if b<>0

return gcd(b, a mod b);

else

return a;

}

或纯使用循环:

function gcd(a, b) {

define r as integer;

while b ≠ 0 {

r := a mod b;

a := b;

b := r;

}

return a;

}

pascal代码（递归）

求两数的最大公约数

function gcd(a,b:integer):integer;

begin

if b=0 then gcd:=a

else gcd:=gcd (b,a mod b);

end ;

其中“a mod b”是指取 a ÷ b 的余数。

例如，123456 和 7890 的最大公因子是 6, 这可由下列步骤看出：

a b a mod b

123456 7890 5106

7890 5106 2784

5106 2784 2322

2784 2322 462

2322 462 12

462 12 6

12 6 0

只要可计算余数都可用辗转相除法来求最大公因子。这包括多项式、复整数及所有欧几里德定义域（Euclidean domain）。

辗转相除法的运算速度为 O(n2)，其中 n 为输入数值的位数。

辗转相除法原理及其详细证明如下:

“辗转相除法”又叫做“欧几里得算法”，是公元前 300 年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》提出的。利用这个方法，可以较快地求出两个自然数的最大公因数，即gcd 或叫做HCF 。

最大公约数（greatest common divisor，简写为gcd；或highest common factor，简写为hcf)

所谓最大公因数，是指几个数的共有的因数之中最大的一个，例如 8 和 12 的最大公因数是 4，记作gcd(8,12)=4。

在介绍这个方法之前，先说明整除性的一些特点（下文的所有数都是正整数，不再重覆），我们可以这样给出整除性的定义：

对于二个自然数a和b，若存在正整数q，使a=bq，则a能被b整除，b为a的因子，a为b的倍数。

如果a能被c整除，并且b也能被c整除，则c为a、b的公因数（公有因数）。

由此我们可以得出以下推论：

推论1、如果a能被b整除（a=qb），若k为正整数，则ka也能被b整除（ka=kqb）

推论2、如果a能被c整除（a=hc），b也能被c整除（b=tc），则(a±b)也能被c整除

因为：将二式相加：a+b=hc+tc=(h+t)c 同理二式相减：a－b=hc－tc=(h－t)c

所以：(a±b)也能被c整除

推论3、如果a能被b整除（a=qb），b也能被a整除（b=ta），则a=b

因为：a=qb　b=ta　a=qta qt=1 因为q、t均为正整数，所以t=q=1

所以：a=b

辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数，在数值很大时尤其有用，而且应用在电脑程式上也十分简单。其理论如下:

如果 q 和 r 是 m 除以 n 的商及余数，即 m=nq+r，则 gcd(m,n)=gcd(n,r)。

证明是这样的: 设 a=gcd(m,n)，b=gcd(n,r)

a=gcd(m,n)

m能被a整除，并且n也能被a整除，则由推论1得：qn也能被a整除

由推论2得：m-qn也能被a整除

而m-qn=r，即r也能被a整除，所以a=b

或

b=gcd(n,r)

n能被b整除，并且r也能被b整除，则由推论1得：qn也能被b整除

由推论2得：qn+r也能被b整除

而m=qn+r，即m也能被b整除，所以a=b

例如计算 gcd(546, 429)

gcd(546, 429) 546=1*429+117

=gcd(429, 117) 429=3*117+78

=gcd(117, 78) 117=1*78+39

=gcd(78, 39) 78=2*39

=39