运算律总述

几种简单的算术运算律

运算律总述

实数和虚数的积等于零

实数和实数的和等于实数

虚数和虚数的和等于虚数

实数加虚数等于合数

几种简单的算术运算律

交换律

交换律是被普遍使用的一个数学名词，意指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。交换律是大多数数学分支中的基本性质，而且许多的数学证明需要依靠交换律。简单运算的交换律许久都被假定存在，且没有给定其一特定的名称，直到19世纪，数学家开始形式化数学理论

给定集合S上的二元计算，如果对S中的任意a,b满足

a+b = b+a

则称·满足交换律。

例：

1.在四则运算中，加法和乘法都满足交换律。在小学课本中的表述如下：

加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变.a+b=b+a

乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变.axb=bxa

2.在集合运算中，集合的交，并，对称差等运算都满足交换律。

结合律

给定一个集合S上的二元运算·，如果对于S中的任意a,b,c。有：

加法：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)

乘法：ax(bxc) = (axb)xc

则称运算·满足结合律。

例：

1.在常见的四则运算中：加法和乘法都满足结合律。在小学课本中表述如下：

加法结合律:三个数相加,先把前面两个数相加,再加第三个数,或者先把后面两个数相加,再和第一个数相加,它们的和不变。即表示为：(a+b)+c=a+(b+c)；

乘法结合律:三个数相乘,先把前面两个数相乘,再乘第三个数,或者先把后面两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变。即表示为：(axb)xc=ax(bxc)；

2.在集合运算中：集合的交，并运算都满足结合律；

3.矩阵乘法满足结合律。一个A x B的矩阵乘以一个B x C的矩阵将得到一个A x C的矩阵，时间复杂度为A x B x C。

分配律

【定义】给定集合S上的两个二元运算x和+，若它们满足：对任意S中的a,b,c有

cx(a+b) = (cxa)+(cxb) 则称运算x对运算+满足左分配律。

(a+b)xc = (axc)+(bxc) 则称运算x对运算+满足右分配律。

如果同时满足上面两条，则称运算·对运算*满足分配律。

【示例】

1.在常见的四则运算中：

1)乘法对加法和减法都满足分配律（即同时满足左右分配律）。

在小学课本里这个性质被表述为：两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘,再把两个积相加。

2)除法对加法和减法满足右分配律。（这个事实很少被提到，但的确是对的）

2.在集合运算中：

1)交运算对并运算满足分配律；

2)并运算对交运算满足分配律；

3)交运算对差运算满足分配律；

4)并运算对差运算满足分配律；等等...

公式导引：

加法交换律：a+b=b+a

乘法交换律：a×b=b×a

加法结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)

乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c

左分配律：cx(a+b) = (cxa)+(cxb)

右分配律：(a+b)xc = (axc)+(bxc)