约数(定义 范例)

最大公因数(公因数 最大公因数 最大公因数的求法)

因数

求约数个数的公式

计算机算法实现（C语言）

负约数(定义 例题)

约数

定义

整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a叫b的倍数，b叫a的约数（或因数）。在大学之前，所指的一般都是正约数。约数和倍数相互依存，不能单独说某个数是约数或倍数。一个数的约数是有限的。

范例

在自然数的范围内，

6的约数有：1、2、3、6。

10的约数有：1、2、5、10。

15的约数有：1、3、5、15。

18的约数有：1、2、3、6、9、18。

注意：一个数的约数包括1及其本身。

例如:能被24整除的有：1、2、3、4、6、8、12、24。

所以24的约数有：1、2、3、4、6、8、12、24。

最大公因数

公因数

如果一个数c既是数a的因数，又是数b的因数，那么c叫做a与b的公因数。可以表示为(a，b)=c。

最大公因数

两个数的公因数中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。

最大公因数的求法

1、 枚举法 将两个数的因数分别一一列出，从中找出其公因数，再从公因数中找出最大的一个，即为这两个数的最大公因数。

例：求30与24的最大公因数。

30的因数有：1,2,3,5,6,10,15,30

24的因数有：1,2,3,4,6,8,12,24

易得其公因数中最大的一个是6，所以30和24的最大公因数是6。

2、 短除法 短除符号就像一个倒过来的除号，短除法就是先写出要求最大公因数的两个数A、B，再画一个短除号，接着在原本写除数的位置写两个数公有的质因数Z（通常从最小的质数开始），然后在短除号的下方写出这两个数被Z整除的商a，b，对a，b重复以上步骤，以此类推，直到最后的商互质为止，再把所有的除数相乘，其积即为A，B的最大公因数。（短除法同样适用于求最小公倍数，只需将其所有除数与最后所得的商相乘即可）

例：求12和18的最大公约数。

解：用短除法，由左图，易得12和18的最大公约数为2×3=6.。

3、分解质因数将需要求最大公因数的两个数A，B分别分解质因数，再从中找出A、B公有的质因数，把这些公有的质因数相乘，即得A、B的最大公约数。

例：求48和36的最大公因数。

把48和36分别分解质因数：

48=2×2×2×2×3

36=2×2×3×3

其中48和36公有的质因数有2、2、3，所以48和36的最大公因数是 2×2×3=12。

4、辗转相除法（欧几里得算法）对要求最大公因数的两个数a、b，设b<a，先用b除a，得a=bq……r1(0≤r1<b)。若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用r1除b，得b=r1q……r2 (0≤r2<r1).，若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1……如此循环，直到能整除为止。其最后一个非零余数即为(a，b)。

这一算法的证明如下：

设两数为a、b(b<a)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc，根据前提有r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

由上，可知c也是r的因数，故可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，(d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公因数成为cd，而非c】

所以 gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

例：求8251和6105的最大公因数。

考虑用较大数减较小数，求得商和余数：

8251=6105×1+2146

6105=2146×2+1813

2146=1813×1+333

1813=333×5+148

333=148×2+37

148=37×4

最后除数37是148和37的最大公因数，也就是8251与6105的最大公因数。

因数

5、更相减损术 更相减损术出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。其原文为：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

翻译成现代语言就是

第一步：任意给定两个正整数a、b；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。 这个数就是a、b的最大公约数。

例：求98与63的最大公因数。

分析：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公约数为7。

注：以上1、2、3同样适用于求多个自然数的最大公约数。

求约数个数的公式

一般地，对自然数n进行分解质因数，设n可以分解为

n=p(1)^α(1)·p(2)^α*(2)·…·p(k)^α(k)

其中p(1)、p(2)、…p(k)是不同的质数，α(1)、α(2)、…α(k)是正整数，则形如

n=p(1)^β(1)·p(2)^β*(2)·…·p(k)^β(k)

的数都是n的约数，其中β(1)可取a(1)+1个值：0,1,2，…，α(1)；β(2)可取α(2)+1个值：0,1,2,…，α（2）…；β(k)可取a(k)+1个值：0,1,2，…，α(k).且n的约数也都是上述形式，根据乘法原理，n的约数共有

（α(1)+1）（α(2)+1）…（α(k)+1） （7）

个。

式（7）即为求一个数约数个数的公式。

计算机算法实现（C语言）

/*求两数的最大公约数和最小公倍数*/

/*解法一：辗转相除法

令大数为m，小数为n，若其余数residue不为0，则m=n，n=其余数，继续直到余数为0

*/

submul(int m,int n)

{

int residue;

while(residue=m%n)

{

m=n;

n=residue;

}

return n;

}

/*解法二：穷举法

穷举出所有两个数的公约数

*/

submul(int m,int n)

{

int i,residue;

for(i=1;i<n;i++)

if(m%i==0&&n%i==0)residue=i;

return residue;

}

main()

{

int a,b,submultiple,multiple;

scanf("%d%d",&a,&b);

submultiple=a>b?submul(a,b):submul(b,a);

multiple=a*b/submultiple;

printf("%d %d\",submultiple,multiple);

}

负约数

定义

国内课本中，最先提到约数这个概念是在小学，而此时还没学负数。

等到学了负数，一般要直到大学数学系“初等数论”中才严格定义约数，那个时候就包括负约数了。

如果d|a并且d≥0，则我们说d是a的约数。注意，d|a当且仅当(-d)|a，因此定义约数为非负整数不会失去一般性，只要明白a的任何约数的相应负数同样能整除a。一个整数a的约数最小为1，最大为|a|。

例题

105的负约数的和是多少？

105的所有负约数就是105的所有正约数的相反数所组成的集合。

105的正约数有1,3,5,7,15,21,35,105

105的负约数有-1,-3,-5,-7,-15,-21,-35,-105

其和为 -（1+3+5+7+15+21+35+105) = ﹣192