圆周角概念

圆周角角度及其推论

圆周角推理

圆周角概念

圆周角最初叫詹妮特角（Jeanit），后来因为用太多的字母来表示太麻烦，就将这种叫法废除了，今人们观察这个角的顶点在圆周上于是更名为圆周角。

概念：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角（angle in a circular segment）（Inscribed Angle）。圆周角的顶点在圆上，它的两边与圆相交。

圆周角角度及其推论

①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半

②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半

③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等

④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径

⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

⑥圆心角所对的圆周角，当角的顶点在这个角所对的劣弧上时，解答就需要分情况证明，此时的圆周角不为圆心角的一半

圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半.

证明略（分类思想，3种，半径相等）

⑦在同圆或等圆中，圆周角相等→弧相等→弦相等

圆周角推理

圆周角推论1: 半圆（弧）和直径所对圆周角是90°.

90°圆周角所对弦是直径.

（常用辅助线：已知直径，作其所对圆周角；已知90°圆周角，作其所对弦，即直径.)

圆周角推论2: 同（等）弧所对圆周角相等.

同（等）圆中，相等的圆周角所对弧相等.

命题1: 在圆中作弦MN，于直线MN同侧取点A、B、C，使点A、B、C分别在圆内、上、外，将点A、B、C分别与点M、N连结，则有∠A>；∠B>；∠C

（图略，证明：三角形一外角等于不相邻两内角和.)

命题2: 顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半.

顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.

证明：如图，过C作CE//AB，交圆于E，

则有∠P=∠DCE，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）

而∠DCE的度数等于弧DE的一半，弧DE=弧BD－弧BE=弧BD－弧AC

所以∠DCE的度数等于“弧BD－弧AC”的一半

即“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半” 另外也可以连接BC，则∠P=∠BCD－∠B

∠BCD的度数等于弧BD的度数的一半

∠B的度数等于弧AC的度数的一半

同样得“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半”

圆内角的证明完全类似：

过C作CE//AB，交圆于E，

则有∠APC=∠C，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）

而∠C的度数等于弧DE的一半，弧DE=弧BD+弧BE=弧BD+弧AC

所以∠APC的度数等于“弧BD+弧AC”的一半

即“顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数和的一半”

另外也可以连接BC进行证明

例题

已知：如图，AB是⊙O的直径，AC、AD为 弦，且AD平分∠BAC，若AB=10，AC= 6，

求AD的长.

解：连结BD并延长交AC的延长线于点E，连结BC

∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=∠ADB=90°

∴BC⊥AE，AD⊥BE

又∵AD平分∠BAC

∴AE=AB，DE=BD

∵AB= 10，AC= 6

∴CE= AE-AC= 4 ，

在Rt△ABC中 BC=8

在Rt△BCE中，BE=4√5

∴BD=2√5

在Rt△ABD中，

∴AD= 4√5