圆的方程

方程的推导

圆的一般式方程

点与圆的位置关系(圆与直线的位置关系判断)

圆的方程练习

圆知识点总结

直线与圆的位置关系

圆的方程

X^2+Y^2=1 被称为1单位圆

x^2+y^2=r^2，圆心O（0，0），半径r；

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

确定圆方程的条件

圆的标准方程中(x－a)^2+(y－b)^2=r^2中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：

根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)^2+(y－b)^2=r^2；

根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；

解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程。

方程的推导

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

在平面直角坐标系中，设有圆O，圆心O(a,b) 点P(x,y)是圆上任意一点。

因为圆是所有到圆心的距离等于半径的点的集合。

所以√[(x-a)^2+(y-b)^2]=r

两边平方，得到

即(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

圆的一般式方程

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

此方程可用于解决两圆的位置关系

配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4

其圆心坐标：（-D/2,-E/2）

半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2

此方程满足为圆的方程的条件是:

D^2+E^2-4F>0

若不满足,则不可表示为圆的方程

已知直径的两个端点坐标A（m，n）B(p，q）设圆上任意一点C（x，

Y）。则有：向量AC*BC=0 可推出方程：（X-m）*（X-p）+（Y-n）*（Y-q）=0 再整理即可得出一般方程。

点与圆的位置关系

点P（X1,Y1) 与圆 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：

⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

圆与直线的位置关系判断

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：

当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；

当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；

半径r，直径d

在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4

=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)

其实只要保证X方Y方前系数都是1

就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)

这可以作为一个结论运用的

且r=根号（圆心坐标的平方和-F）

圆的方程练习

同步达纲练习A级

一、选择题

1.若直线4x-3y-2=0与圆x^2+y^2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是( )A.-3<a<7 B.-6<a<4C.-7<a<3 D.-21<a<19

2.圆(x-3)^2+(y-3)^2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.使圆(x-2)^2+(y+3)^2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( )A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1) D.( +2， -3)

4.若直线x+y=r与圆x^2+y^2=r(r>0)相切，则实数r的值等于( )A. B.1 C. D.2

5.直线x-y+4=0被圆x^2+y^2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )A.8 B.4 C.2 D.4

二、填空题

6.过点P(2，1)且与圆x^2+y^2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .

7.设集合m={(x,y)|x^2+y^2≤25},N={(x,y)|(x-a)^2+y^2≤9}，若M∪N=M，则实数a的取值范围是 .

8.已知P(3，0)是圆x^2+y^2-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是( )，过点P的最长弦所在直线方程是 .

三、解答题

9.已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ(O是原点)，求m的值.

10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C：y=1+ 有两个不同的交点，求实数k的取值范围.

参考答案同步达纲练习A级

1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.x=2或3x-4y-2=0 7.-2≤a≤2 8.x+y-3=0，x-y-3=0 9.m=3 10.( , )

圆知识点总结

定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转一周，留下的轨迹叫圆。

圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心

（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。

（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

直线与圆的位置关系

⑴直线与圆相交（d<r），有两个公共点。

⑵直线与圆相切（d=r），只有一个公共点。

⑶直线与圆相离（d>r），没有公共点。