所谓有效数字：具体地说，是指在分析工作中实际能够测量到的数字。所谓能够测量到的是包括最后一位估计的，不确定的数字。 我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字。如上例中测得物体的长度7.45cm.数据记录时，我们记录的数据和实验结果的表述中的数据便是有效数字。

定义

简介

正确表示

具体说明

与不确定度的关系

舍入规则

计算规则(1.加减法 2. 乘除法 3，乘方)

定义

对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字(Effective number）。（对数的有效数字较特殊，详见具体说明）

简介

测量结果都是包含误差的近似数据，在其记录、计算时应以测量可能达到的精度为依据来确定数据的位数和取位。如果参加计算的数据的位数取少了，就会损害外业成果的精度并影响计算结果的应有精度；如果位数取多了，易使人误认为测量精度很高，且增加了不必要的计算工作量。

一般而言，对一个数据取其可靠位数的全部数字加上第一位可疑数字，就称为这个数据的有效数字。

一个近似数据的有效位数。

正确表示

1．有效数字中只应保留一位欠准数字，因此在记录测量数据时，只有最后一位有效数字是欠准数字。

2．在欠准数字中，要特别注意0的情况。0在非零数字之间与末尾时均为有效数；在小数点前或小数点后均不为有效数字。如0.078和0.78与小数点无关，均为两位有效数字。如 506为3位有效数字 220 为3位有效数字。但当数字为220.0时称为4个有效数值。

3．л等常数，具有无限位数的有效数字，在运算时可根据需要取适当的位数。

具体说明

(1)实验中的数字与数学上的数字是不一样的.如

数学的 8.35=8.350=8.3500,

而实验的 8.35≠8.350≠8.3500.

(2)有效数字的位数与被测物的大小和测量仪器的精密度有关.如前例中测得物体的长度为7.45cm,若改用千分尺来测，其有效数字的位数有五位.

(3)第一个非零数字前的零不是有效数字.

(4)第一个非零数字以及之后的所有数字(包括零)都是有效数字.

(5)当计算的数值为lg或者pH、pOH等对数时，由于小数点以前的部分只表示数量级，故有效数字位数仅由小数点后的数字决定。例如lgx=9.04为2位有效数字，pH=7.355为三位有效数字。

(6)当特别地，当第一位有效数字为8或9时，因为与多一个数量级的数相差不大，可将这些数字的有效数字位数视为比有效数字数多一个。例如8.314是五位有效数字，96845是六位有效数字.

(7)单位的变换不应改变有效数字的位数.因此,实验中要求尽量使用科学计数法表示数据.如100.2m可记为0.1002km.但若用cm和mm作单位时，数学上可记为10020cm和100200mm,但却改变了有效数字的位数，这是不可取的，采用科学计数法就不会产生这个问题了.

与不确定度的关系

有效数字的末位是估读数字，存在不确定性.一般情况下不确定度的有效数字只取一位,其数位即是测量结果的存疑数字的位置；有时不确定度需要取两位数字，其最后一个数位才与测量结果的存疑数字的位置对应.

由于有效数字的最后一位是不确定度所在的位置，因此有效数字在一定程度上反映了测量值的不确定度(或误差限值).测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小;有效数字位数越少,相对不确定度就越大.可见，有效数字可以粗略反映测量结果的不确定度.

例子：d=（10.430±0.3）是不对的，只能写成d=（10.4±0.3）

舍入规则

1．当保留n位有效数字，若第n+1位数字≤4就舍掉。

2．当保留n位有效数字，若第n+1位数字≥6时，则第n位数字进1。

3．当保留n位有效数字，若第n+1位数字=5且后面数字为0时 ，则第n位数字若为偶数时就舍掉后面的数字，若第n位数字为奇数时加1；若第n+1位数字=5且后面还有不为0的任何数字时，无论第n位数字是奇或是偶都加1。

如将下组数据保留一位小数

45．77≈45.8。43.03≈43.0。0.26647≈0.3。10.3500≈10.4。

38．25≈38.2。47.15≈47.2。25.6500 ≈ 25.6。20.6512 ≈20.7

有效数字

就是一个数从左边第一个不为0的数字数起到精确的数位止，所有的数字（包括0，科学计数法不计10的N次方），称为有效数字。简单的说，把一个数字前面的0都去掉，从第一个正整数到精确的数位止所有的都是有效数字了。

如：0.0109，前面两个0不是有效数字，后面的109均为有效数字（注意，中间的0也算）。

3．109*10^5（3.109乘以10的5次方）中，3 1 0 9均为有效数字，后面的10的5次方不是有效数字

5200000000，全部都是有效数字。

0.0230，前面的两个0不是有效数字，后面的230均为有效数字（后面的0也算）

1．20有3个有效数字

1100．024有7个有效数字

2．998*10^4（2.998乘以10的4次方）中，保留3个有效数字为3.00*10^4

对数的有效数字为小数点后的全部数字，如lg x=1.23有效数字为2.3，lg a=2.045有效数字为0、4.5，pH=2.35有效数字为3.5。

整体遵循四舍六入五成双的方法

计算规则

1.加减法

以小数点后位数最少的数据为基准，其他数据修约至与其相同，再进行加减计算，最终计算结果保留最少的位数。

例：计算50.1+1.45+0.5812=

修约为：50.1+1.4+0.6=52.1

2. 乘除法

以有效数字最少的数据为基准，其他有效数修约至相同，再进行乘除运算，计算结果仍保留最少的有效数字。

例：计算0.0121×25.64×1.05728=

修约为：0.0121×25.6×1.06=

计算后结果为：0.3283456，结果仍保留为三位有效数字。

记录为：0.0121×25.6×1.06=0.328

例：计算2.5046×2.005×1.52=

修约为：2.50×2.00×1.52=

当把1.13532×10⒑保留3个有效数字时，结果为1.14×10⒑

运算中若有π、e等常数，以及√2.1/2等系数，其有效数字可视为无限，不影响结果有效数字的确定。

一般来讲，有效数字的运算过程中，有很多规则.为了应用方便,本着实用的原则，加以选择后，将其归纳整理为如下两类。一般规则

(1)可靠数字之间运算的结果为可靠数字。

(2)可靠数字与存疑数字，存疑数字与存疑数字之间运算的结果为存疑数字。

(3)测量数据一般只保留一位存疑数字。

(4)运算结果的有效数字位数不由数学或物理常数来确定,数学与物理常数的有效数字位数可任意选取，一般选取的位数应比测量数据中位数最少者多取一位.例如：π可取=3.14或3.142或3.1416……；在公式中计算结果不能由于"2"的存在而只取一位存疑数字，而要根据其他数据来决定。

(5)运算结果将多余的存疑数字舍去时应按照"四舍六入五凑偶"的法则进行处理.即小于等于四则舍;大于六则入；等于五时，根据其前一位按奇入偶舍处理(等几率原则).例如,3.625化为3.62,4.235则化为4.24.具体规则

(1)有效数字相加(减)的结果的末位数字所在的位置应按各量中存疑数字所在数位最前的一个为准来决定。例如：

30.4 26.65

+ 4.325 - 3.905

34．725 22.745

取30.4+4.325=34.7,26.65-3.905=22.74.

(2)乘(除)运算后的有效数字的位数与参与运算的数字中有效数字位数最少的相同.

由此规则(2)可推知：乘方，开方后的有效数字位数与被乘方和被开方之数的有效数字的位数相同.

(3)指数，对数，三角函数运算结果的有效数字位数由其改变量对应的数位决定.例如：中存疑数字为0.08,那么我们将的末位数改变1后比较，找出发生改变的位置就能得知.

(4)有效数字位数要与不确定度位数综合考虑.

一般情况下，表示最后结果的不确定度的数值只保留1位，而最后结果的有效数字的最后一位与不确定度所在的位置对齐.如果实验测量中读取的数字没有存疑数字,不确定度通常需要保留两位.

但要注意:具体规则有一定适用范围，在通常情况下，由于近似的原因，如不严格要求可认为是正确的.

3，乘方

乘方的有效数字和底数相同。

例：（0.341)^2=1.16×10^2