仅含有限多个元素的域。它首先由E.伽罗瓦所发现，因而又称为伽罗瓦域。它和有理数域、实数域比较，有着许多不同的性质。

简介

条件

有限域的阶

费马小定理有限域推广

简介

最简单的有限域是整数环Z 模一个素数p得到的余环Z/(p),由p个元素0,1,…,p-1组成,按模p相加和相乘。

J.H.M.韦德伯恩于1905年证明了“有限除环必是乘法交换的”。因此，有限除环就是现在所说的有限域。

条件

集合F={a，b，…}，对F的元素定义了两种运算：“+”和“*”，并满足以下3个条件，

·F1：F的元素关于运算“+”构成交换群，设其单位元素为0。

·F2：F\\{0}的元素关于运算“*”构成交换群。即F中元素排除元素0后，关于*法构成交换群。

·F3：分配率成立，即对于任意元素

a，b，c∈F，

恒有

a*(b+c)=(b+c)*a=a*b+a*c

p是素数时，可证F{0，1，2，…，p-1}，在modp意义下，关于求和运算“+”，及乘积“*”，构成了域。F域的元素数目有限时称为有限域。

有限域的阶

有限域元素的数目称为有限域的阶。对于有限域，其元素的数目必然是素数的幂。而这个对应的素数成为有限域的特征。在编码和密码理论里面2^n阶有限域被广泛使用，具有非常重要的意义。

而另外，所有阶数相同的有限域是同构的。也就是说，从本质上上，给定有限域的阶，有限域就唯一确定了。

费马小定理有限域推广

假设一个有限域的阶是q=p^n,那么对于有限域里面任意一个元素x,x^q=x,这个就是数论中费马小定理在有限域中的推广。