有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

数学的应用

运算

有理数的运算法则(一、加法 二、减法 三、乘法 四、除法)

把无限小数化成有理数的方法

p进数

部分相关定理(整数 正数和负数相加)

有理数的相关概念

数学的应用

有理数可分为整数和分数。英文：rational number读音：yǒu lǐ shù整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογο，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。 无限不循环小数称之为无理数（例如：圆周率π）有理数和无理数统称为实数。所有有理数的集合表示为Q。以下都是有理数：

(1) 整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。

(2）分数包含了：正分数、负分数统称为分数。

（3）小数包含了:有限小数、无限循环小数。而且分数也统称小数，因为分小互化。

如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。全体有理数构成一个集合，即有理数集合，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集，即Q?R。相关的内容见数系的扩张。有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：①加法的交换律 a+b=b+a；②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0，使 0+a=a+0=a；④乘法的交换律 ab=ba；⑤乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。0a=0 文字解释：一个数乘0还等于0。此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是（rational number），而（rational）通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为（ratio），就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理（无理数就是无限不循环小数，π也是其中一个无理数）。

运算

有理数加减混合运算1.有理数加减统一成加法的意义：

对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的算式是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。

2.有理数加减混合运算的方法和步骤：

（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。

一般情况下，有理数是这样分类的：

整数、分数；正数、负数和零；负有理数，正有理数。整数和分数统称有理数，有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。

凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数。

在有理数中，不是无限不循环小数的小数就是分数。

有理数的运算法则

一、加法

有理数的加法与小学的加法大有不同，小学的加法不涉及到符号的问题,而有理数的加法运算总是涉及到两个问题:一是确定结果的符号;二是求结果的绝对值. 在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0.从而确定用那一条法则.在应用过程中，一定要牢记"先符号,后绝对值"，熟练以后就不会出错了. 多个有理数的加法，可以从左向右计算,也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好,哪一个要用定律哪一个要从左往右计算.

法则

1.同号相加,取相同符号,并把绝对值相加.

2.绝对值不等的异号加减,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.

3.一个数同0相加,仍得这个数.

定律

Ⅰ.同号相加,取相同符号,并把绝对值相加.

Ⅱ.绝对值不相等的异号两数加减,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.

Ⅲ.一个数同0相加,仍得这个数.

Ⅳ.相反数相加结果一定得0。　交换律和结合律

有理数的加法同样拥有交换律和结合律(和整数得交换律和结合律一样)用字母表示为:

交换律:a+b=b+a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。

结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

二、减法

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。一不变：被减数不变。可以表示成： a－b=a+（－b）。

三、乘法

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。例;（-5）×（-3）=15 （-6）×4=-24

（2）任何数字同0相乘，都得0. 例;0×1=0

（3）几个不等于0的数字相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个数时，积为负；当负因数有偶数个数时，积为正。并把其绝对值相乘。例;（-10）×〔-5〕×（-0.1）×（-6)=积为正数，而（-4）×（-7）×(-25）=积为负数

（4）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0. 例;3×（-2）×0=0 （5）乘积为一的两个有理数互为倒数（reciprocal）。例如，—3与—1/3，—3/8与—8/3

四、除法

（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。（注意：0没有倒数）

（2）两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。

（3）0除以任何一个不等于0的数，都等于0。

（4）0在任何条件下都不能做除数。

把无限小数化成有理数的方法

0.|a1a2a3a4a5a6…an|=?

令x=0.|a1a2a3a4a5a6…an|= 则10^n*x=a1a2a3a4a5…an.|a1a2a3a4a5a6…an|

(10^n-1)x=a1a2a3a4…an x=a1a2a3a4…an/(10^n-1)

创始来源

古埃及人约于公元前17世纪初已使用分数，中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。

关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×（Z -{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。

有理数集合是一个数域。任何数域必然包含有理数域。即有理数集合是最小的数域。

有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是的完备集。

p进数

除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将转化到拓扑域：

设p是素数，对任何非零整数a设 | a | p= p- n，这里pn是p的最高次幂除a

另外 | 0 | p= 0。对任何有理数，设。

则在上定义了一个度量。

度量空间不完备，它的完备集是p进数域。

一个困难的问题：有理数的边界在哪里？　根据定义，无限循环小数和有限小数（整数可认为是小数点后是0的小数），统称为有理数，无限不循环小数是无理数。

但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界，竟然紧靠无理数，任何两个十分接近的无理数中间，都可以加入无穷多的有理数，反之也成立。

竟然没有人知道有理数的边界，或者说有理数的边界是无限接近无理数的。

定理：位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断。

证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。

部分相关定理

整数

整数距离0的数值，称为绝对值。0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数，正整数的绝对值是它本身。

整数还包括正数、负数和0。

正数和负数相加

同号相加，取相同的符号，把两数相加并加上符号。异号相加，取绝对值较大数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值。

正数和负数是两种意义相反的量。

对一些具有相反意义的量可人为规定其正负。

0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。

整数可以看做分母为1的分数。

(5)　+　(+1)　=　(+6)

(-6)　+　(-1)　=　(-7)

(+7)　+　(-6)　=　(+1)整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为“有理数”。（Rational number）

实数=整数+分数=正数+零+负数=有理数+无理数 有理数

有理数的相关概念

有理数的概念的内容包含有理数分类的原则和方法，相反数、数轴、绝对值的概念和特点。

1.有理数的分类：有理数包括整数和分数，整数又包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数 。“分类”的原则：（1）相称（不重、不漏）；（2）有标准

2．非负数：正数与零的统称。

3．相反数： （1）定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数.

（2）求相反数的公式: a的相反数为-a.

（3）性质：①a≠0时，a≠-a;②a与-a在数轴上的位置关于原点对称;③两个相反数的和为0,商为-1。

4．数轴：

（1）定义（“三要素”）:具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。

作用：①直观地比较实数的大小;②明确体现绝对值意义;③所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如 都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。

5.绝对值：（1）代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。

（2）几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

①符号"││”是“非负数”的标志;

②数a的绝对值只有一个;

③处理任何类型的题目，只要其中有"││”出现，其关键一步是去掉"││”符号。