因式分解（分解因式）Factorization，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。

高级结论

方法

基本方法(提公因式法 公式法 分解因式技巧)

竞赛用到的方法(分组分解法 十字相乘法 拆项、添项法 配方法 应用因式定理 换元法 求根法 图象法 主元法 特殊值法 待定系数法 双十字相乘法 二次多项式因式分解)

多项式因式分解步骤

几道例题

四个注意

应用

因式分解公式(平方差公式 完全平方公式 立方和（差）立方公式)

定义

因式分解的定义和主要方法常规因式分解主要公式定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法为相反变形。

同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤

高级结论

在高等数学上因式分解有一些重要结论，在初等数学层面上证明很困难，但是理解很容易。

1 因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。

2 所有的三次和三次以上多项式都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如X^4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。如果有兴趣，你也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。

3 因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以比较笨，但是有效地解决找公因式的问题。

方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

注意三原则

1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）

2．最后结果只有小括号

3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=x(-3x+1））

4．最后结果每一项都为最简因式

归纳方法：北师大版八下课本上有的

1．提公因式法。

2．公式法。

3．分组分解法。

4．凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]

5．组合分解法。

6．十字相乘法。

7．双十字相乘法。

8．配方法。

9．拆项补项法。

10．换元法。

11．长除法。

12．求根法。

13．图象法。

14．主元法。

15．待定系数法。

16．特殊值法。

17．因式定理法。

基本方法

提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。

注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式

公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式: (a+b)(a-b)=a²-b² 反过来为a²-b²=(a+b)(a-b)

完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b² 反过来为a²+2ab+b²=(a+b)²

(a-b)²=a²-2ab+b² a²-2ab+b²=(a-b)²

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

两根式：ax²+bx+c=a[x-(-b+√(b^2-4ac))/2a][x-(-b-√(b^2-4ac))/2a]

立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)；

立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

完全立方公式：a³±3a³b+3ab²±b³=(a±b)³．

公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

例如：a²+4ab+4b² =(a+2b)²。

分解因式技巧

1．分解因式技巧掌握：

①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

2．提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式

（2）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

竞赛用到的方法

分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

几道例题：

1． 5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)

说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2． x³-x²+x-1

解法：=(x³-x²)+(x-1)

=x²(x-1)+ (x-1)

=(x-1)(x²+1)

利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻松解决。

3． x²-x-y²-y解法：=(x²-y²)-(x+y)

=(x+y)(x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y-1)

利用二二分法，再利用公式法a²-b²=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

十字相乘法

现在的教材降低难度，不用学。但学奥数的同学注意了，这个不会你就别考了！

这种方法有两种情况。

①x²+﹙p+q﹚x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

例1：x²-2x-8

=(x-4)(x+2)

②kx²+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx²+mx+n=(ax+c)(bx+d)．

图示如下：

例2：(7x+2)(x-3)中a=1 b=7 c=2 d=-3

因为

-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，

所以=(7x+2)(x-3)．

十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

例3：6X²+7X+2

第1项二次项（6X²）拆分：2×3

第3项常数项（2）拆分：1×2

2（X）　3（X）

1　2

对角相乘：1×3+2×2得第2项一次项（7X）

∴6X²+7X+6=（2X+1）（3X+2）

与之对应的还有双十字相乘法，也可以学一学

拆项、添项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)．

配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：x²+3x-40

=x²+3x+2.25-42.25

=(x+1.5)²-(6.5)²

=(x+8)(x-5)．

应用因式定理

对于多项式f(x)，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．

例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。(事实上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)

注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数

2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数

换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。

例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则

原式=(y+1)(y+2)-12

=y²+3y+2-12=y²+3y-10

=(y+5)(y-2)

=(x²+x+5)(x²+x-2)

=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．

也可以参看右图。

求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x¹，x²，x³，……xn，则该多项式可分解为f(x)=a(x-x¹)(x-x²)(x-x³)……(x-xn) ．

例如在分解2x^4+7x³-2x²-13x+6时，令2x^4 +7x³-2x²-13x+6=0，

则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．

所以2x^4+7x³-2x²-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．

图象法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x¹,x²,x³,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=a(x-x¹)(x-x²)(x-x³)……(x-xn)．

与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

例如在分解x³ +2x²-5x-6时，可以令y=x³; +2x² -5x-6.

作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2

则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．

主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

特殊值法

将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例如在分解x³+9x²+23x+15时，令x=2，则

x³ +9x²+23x+15=8+36+46+15=105，

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，

则x³+9x²+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例如在分解x^4-x³-5x²-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

于是设x^4-x³-5x²-6x-4=(x²+ax+b)(x²+cx+d)=x^4+(a+c)x³+(ac+b+d)x²+(ad+bc)x+bd

由此可得a+c=-1，

ac+b+d=-5，

ad+bc=-6，

bd=-4．

解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．

也可以参看右图。

双十字相乘法

双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。

双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：

ax²+bxy+cy²+dx+ey+f

x、y为未知数，其余都是常数

用一道例题来说明如何使用。

例：分解因式：x²+5xy+6y²+8x+18y+12．

分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

解：图如下，把所有的数字交叉相连即可

x 2y 2

x 3y　6

∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．

双十字相乘法其步骤为：

①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x²+5xy+6y²=(x+2y)(x+3y)

②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)

③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。

二次多项式因式分解

（根与系数关系二次多项式因式分解）

例：对于二次多项式 aX²+bX+c(a≠0)

aX²+bX+c=a[X²+(b/a)X+(c/a)X].

当△=b²-4ac≥0时，

=a(X²-X1-X²+X¹X²)

=a(X-X¹)(X-X²).

多项式因式分解步骤

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”

几道例题

1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．

解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．

2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：

x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．

当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。

3．．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。

分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，

∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．

∴(a-c)(a+2b+c)=0．

∵a、b、c是△ABC的三条边，

∴a+2b+c>0．

∴a－c=0，

即a=c，△ABC为等腰三角形。

4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。

解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)

=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．

四个注意

因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例 可供参考

例1 把－2a－2b+2ab+4分解因式。

解：－2a－2b+2ab+4=－（2a－2ab+2b－4）=－（a－b+2）（a－b－2）

这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2+4y2=（－3x）2－（2y）2=（－3x+2y）（－3x－2y）=（3x－2y）（3x+2y）的错误

例2把－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1=－6xnyn－1（2xny－3x2y2+1）

这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2=2y（4x4－5x2－9）=2y（2x+1）（4x2－9）的错误。

考试时应注意：

在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！

由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。

应用

1． 应用于多项式除法。

2． 应用于高次方程的求根。

3． 应用于分式的通分与约分

顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：

1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2^P-1)。即（2p+1）|（2^P-1）

.例如：

23|(2^11-1);；11=4×2+3

47|(2^23-1);；23=4×5+3

167|(2^83-1);,,,.83=4×20+3

。。

2,，p=2^n×3^2+1,，则（6p+1）|(2^P-1)，

例如：223|(2^37-1);；37=2×2×3×3+1

439|(2^73-1)；73=2×2×2×3×3+1

3463|(2^577-1);；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1

，，，。

3，p=2^n×3^m×5^s-1,则（8p+1）|（2^P-1）

.例如；233|(2^29-1)；29=2×3×5-1

;1433|(2^179-1)；179=2×2×3×3×5-1

1913|（2^239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1

，，，。

因式分解公式

平方差公式

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

完全平方公式

(a+b)^2=a^2+2ab+b^;2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

立方和（差）立方公式

两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。

即a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

证明如下： a^3-b^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

所以a^3-b^3=（a-b）a^3-[-3(a^2)b+3ab^2]=(a-b)(a-b)^2+3ab(a-b)

=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)